Significado preciso de la asignación de números a las secuencias divergentes

Question

En primer lugar, soy consciente de que se han formulado y respondido muchas preguntas muy similares aquí y en otros sitios. Sin embargo, después de buscar, literalmente, decenas de explicaciones sobre este hecho, no he podido encontrar ni una sola que me convenciera satisfactoriamente de que realmente podemos hacerlo.

De hecho, por alguna razón, la gente parece mirar de reojo y no dar respuestas directas cada vez que se le pregunta esto, lo que me hace pensar que podría tratarse de una gran broma interna a costa de difundir información errónea.

Si considera que esta pregunta es un duplicado, por favor, indíqueme dónde puedo encontrar una explicación que arroje luz a los puntos siguientes:

Voy a enumerar algunas premisas. Tengan en cuenta que sólo he hecho un curso de Análisis Real. Como estoy hablando de una suma de números reales, espero que se pueda explicar sin hacer referencia al análisis complejo.

-La igualdad entre los números reales significa la doble inclusión entre los conjuntos que representan

-Una suma infinita es el límite de las sumas parciales, desde el $\epsilon-\delta$ definición de límite

-Las series divergentes no son iguales a ningún número, ya que, en virtud de su divergencia y de la propiedad arquimédica, podemos demostrar que son diferentes a cualquier x dado

Ahora, toda explicación de por qué $1+2+3+4+5+6+...=-1/12$ parece violar una de las anteriores, ya sea manipulando las series infinitas como algo distinto al límite de las sumas parciales, o violando el radio de convergencia, o afirmando que la igualdad significa algo distinto a la igualdad. Para mí esas explicaciones (en particular las que se refieren a las continuaciones analíticas) parecen similares a decir:

$f(x)=x^2$ se comporta como $y=0$ cerca del origen. Por lo tanto, $f(7)=7^2=0$ .

Teniendo esto en cuenta, planteo las siguientes preguntas:

1. ¿Qué significa, precisamente, tomar sumas infinitas, si vamos a aceptar $1+2+3+...=-1/12$ ?

2. ¿Qué hace $=$ significa, precisamente, en este contexto?

3. (bonus) Sé que esto es relevante para la teoría de cuerdas. ¿Se ha utilizado alguna vez para hacer predicciones demostrables sobre el mundo real?

Answer 1

Ciertamente $1+2+3+\ldots$ es una serie divergente. Sin embargo, existen (¡muchos!) métodos para asignar un valor a (algunas) series divergentes, que merecen el nombre de "suma" en tanto que asignan el valor habitual (el límite de las sumas parciales) a convergente series. Muchos de estos métodos tienen además buenas propiedades como la linealidad, la reindexabilidad finita, etc.

Formalmente, se puede definir un método regular de suma de series lineales $\Lambda$ sea una función parcial de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ a ${\mathbb{R}}$ tal que $$ \Lambda(a_1,a_2,\ldots)=\sum_{i=1}^{\infty}a_i $$ siempre que esta última suma converja, y tal que $\Lambda(\mu a + b)=\mu \Lambda(a) + \Lambda(b)$ para cualquier $\mu\in\mathbb{R}$ y siempre que $\Lambda(a)$ y $\Lambda(b)$ se definen. Una restricción más fuerte es la estabilidad, tal que $$ \Lambda(a_1,a_2,\ldots)=\Lambda(a_{n+1},a_{n+2},\ldots) + \sum_{i=1}^{n}a_i $$ para cualquier $n\in\mathbb{N}$ . En la entrada de Wikipedia sobre serie divergente . Un método que da el resultado $-1/12$ para la serie $1+2+3+\ldots$ es $\zeta$ -Regularización de funciones .

Answer 2

La igualdad es una mera definición. Por ejemplo, consideremos una serie de potencias que converge a una función $S(x)$ para $|x|<1$ (y diverge para $|x|\geq1$ ). Si existe $\lim_{x\to1^-}(aS(x^2)-S(x))$ para un determinado $a\neq1$ la suma de las series divergentes en $x=1$ puede definirse simplemente por $$\frac{\lim_{x\to1^-}(aS(x^2)-S(x))}{a-1}.$$

Ejemplo 1.

$$x+x^2+x^3+\cdots=\frac{x}{1-x}$$ y $$2\frac{x^2}{1-x^2}-\frac{x}{1-x}=-\frac{x}{1+x}.$$ Por definición, $1+1+1+\cdots=-\frac{1}{2}$ .

Ejemplo 2.

$$x+2x^2+3x^3+\cdots=\frac{x}{(1-x)^2}$$ y $$4\frac{x^2}{(1-x^2)^2}-\frac{x}{(1-x)^2}=-\frac{x}{(1+x)^2},$$ Por definición, $1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}$ .