Mostrar que $\Bbb Q(\sqrt[p]{a}, \omega )=\Bbb Q(\sqrt[p]{a}+ \omega )$

Question

Mostrar que $\Bbb Q(\sqrt[p]{a}, \omega )=\Bbb Q(\sqrt[p]{a}+ \omega )$ donde $\omega=e^{2\pi i/p}$ $a$ es primo. Por simplicidad, vamos a llamar a la mano izquierda de campo $K$, y la mano derecha del campo de $R$. Sé que la estrategia es mostrar la inclusión de ambas maneras para obtener la desigualdad. También sé que $K$ es la división de campo de la polinomio de $\sqrt[p]{x}-a$, he probado esto.

Puedo mostrar que $R \subseteq K$, ya sé que $\omega, \sqrt[p]{a} \in K$ lo que implica que $\omega+\sqrt[p]{a} \in K$ lo que implica $R \subseteq K$.

Tengo problemas para mostrar lo opuesto a la inclusión. Sé que el objetivo es mostrar que la $\omega, \sqrt[p]{a} \in R$ saber que $\omega+\sqrt[p]{a} \in R$. He intentado varias veces para mostrar esto, principalmente jugando con diferentes polinomio y utilizando el teorema del binomio, pero no puedo encontrar nada para esto.

Cualquier sugerencias o ayuda para mostrar esto es apreciado. Gracias de antemano

Answer 1

Este es un clásico de los primitivos elemento argumento. Deje $v=\sqrt[p]{a}$$u=v+\omega$. El polinomio mínimo de a$v$$V=X^p-a$, mientras que el polinomio mínimo de a$\omega$$W=X^{p-1}+X^{p-2}+\ldots +1$. A continuación, considere la pertubated polinomio $F=W(u-X)$.

Las raíces de $F$$u-\omega=v,u-\omega^2,u-\omega^3,\ldots,u-\omega^{p-1}$.

Las raíces de $V$ en el otro lado están las $v,v\omega,v\omega^2,\ldots,v\omega^{p-1}$.

Si $r$ es cualquier raíz común a$F$$W$, podemos escribir $r=u-\omega^i=v\omega^j$ para algunos índices de $i$$j$$1$$p-1$. De ello se desprende que $v(1-\omega^j)=\omega-\omega^i$, y si $j\neq 1$ podemos escribir $v=\frac{\omega-\omega^i}{1-\omega^j}\in{\mathbb Q}[\omega]$ lo cual es imposible, porque la $v$ tiene el grado $p$ mientras $\omega$ tiene el grado $p-1$. Por lo $j=1$$r=v$. Por lo tanto, hemos demostrado que la única raíz común a$F$$V$$v$. Por lo que el MCD de los dos polinomios es $X-v$. Pero ya que los dos polinomios de coeficientes en ${\mathbb Q}[u]$, al igual que su MCD (esta es la "invariancia de GCD" bienes y sigue por el algoritmo de Euclides). Por lo $v\in{\mathbb Q}[u]$ que es exactamente lo que usted necesita.