Estoy teniendo problemas para determinar la convergencia de la serie:
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\left[1-\cos\left(1 \over n\right)\right]. $$
He probado la raíz de la prueba:
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1-\cos\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\cos\frac{1}{n}\right)^{1/n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\mathrm{e}^{\frac{\log(1-\cos\frac{1}{n})}{n}}=\mathrm{e}^{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log(1-\cos\frac{1}{n})}{n}}$$
Ahora mediante la aplicación de la Stolz–Cesàro teorema, que el límite superior es igual a:
\begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log(1-\cos\frac{1}{n+1})-\log(1-\cos\frac{1}{n})}{(n+1)-n}&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\log(1-\cos\frac{1}{n+1})-\log(1-\cos\frac{1}{n})\right) \\&=\lim_{n\rightarrow\infty}\log{\frac{1-\cos{\frac{1}{n+1}}}{1-\cos{\frac{1}{n}}}} \end{align}
Ahora estoy totalmente atascado, a menos que el cociente es en realidad 1, en cuyo caso el límite sería 0, la Raíz del resultado de la prueba sería $\mathrm{e}^0=1$ y todo esto no habría sido en vano.
No estoy seguro de que este método era la mejor idea, la serie seguro que parece más sencillo que eso, así que, probablemente, otro método es el más apropiado?
