Derivada de una función con 2 variables

Question

He aprendido en Cálculo 1 que la derivada de $f(x)$ es:

$$\lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ .

Supongamos que $f(x,y)$ es una función con 2 variables,

hace $$f'(x,y) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h, y+h) - f(x,y)}{h}$$ ?

Si no, ¿cuál es la derivada de la función con 2 variables?

Answer 1

Permítanme examinar la definición de derivado desde un punto de vista diferente.

Dejemos que $f\colon I\to \mathbb R$ sea una función definida en un intervalo no trivial $I$ y tomar $x_0\in I.$

La derivada de $f$ en $x_0$ , denotado por, $f'(x_0)$ es $\lim \limits_{h\to 0}\left( \dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\right)$ , si este límite existe de forma finita.

Suponiendo que $f$ diferenciable en $x_0$ se cumple la siguiente equivalencia, (nótese el valor absoluto en el denominador del lado derecho):

$$f'(x_0)=\lim \limits_{h\to 0}\left( \dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\right) \iff \lim \limits_{h\to 0}\left(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)-hf'(x_0)}{|h|}\right)=0.$$

Esto motiva la siguiente definición alternativa: $f$ es diferenciable en $x_0$ si, y sólo si, existe un mapa lineal $L\colon \mathbb R\to \mathbb R$ tal que $$\lim \limits_{h\to 0}\left(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)-L(h)}{|h|}\right)=0.$$

Si toma $L(h)=h\lim \limits_{k\to 0}\left( \dfrac{f(x_0+k) - f(x_0)}{k}\right)$ para todos $h\in \mathbb R$ , se obtiene la definición habitual.

Se puede generalizar esta definición a los mapas de $\mathbb R^n$ a $\mathbb R^m$ .
Dejemos que $D\subseteq \mathbb R^n$ sea un conjunto abierto, consideremos una función $g\colon D\to \mathbb R^m$ y que $X_0\in D$ .
La función $g$ se dice que diferenciable en $X_0$ si, y sólo si, existe un mapa lineal $L\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^m$ tal que $$\lim \limits_{H\to 0_{\mathbb R^n}}\left(\dfrac{g(X_0+H)-g(X_0)-L(H)}{\|H\|}\right)=0_{\mathbb R^m}.$$ Este mapa lineal $L$ se denota por $(Dg)(X_0)$ y se llama diferencial de $g$ en $X_0$ .

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¿Por qué he tomado este camino en lugar del tuyo, que también es natural?

La definición que proporcioné hace la declaración condicional $\color{blue}{g\text{ is differentiable}\implies g\text{ is continuous}}$ verdadero (está en los libros), mientras que el suyo no lo hace como se puede ver en el ejemplo siguiente.

Considere la función $f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R$ definido por, para todo $(x,y)\in \mathbb R^2$ , $$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{2xy^2}{x^2+y^4}, &\text{ if }(x,y)\neq (0,0)\\ 0, &\text{ if }(x,y)=(0,0) \end{cases}.$$

Analicemos lo que ocurre en $(0,0)$ utilizando su definición de diferenciabilidad: $$f''(0,0)=\lim \limits_{h\to 0}\left(\dfrac{f(h,h)-f(0,0)}{h}\right)=\lim \limits_{h\to 0}\left(\dfrac{2h^3}{h^3+h^5}\right)=2.$$

Sin embargo, $f$ no es continua en $(0,0)$ porque, dado $m\in \mathbb R$ sucede lo siguiente: $$\lim \limits_{(x,y)\to (0,0)}\left(f(my^2,y)\right)=\lim \limits_{(x,y)\to (0,0)}\left(\dfrac{2my^4}{m^2y^4+y^4}\right)=\dfrac{2m}{m^2+1},$$ por lo que el límite depende de $m$ lo que contradice la unicidad del límite, por lo que $g$ no es continua en $(0,0)$ .

Answer 2

Una forma común de escribir las derivadas en el caso multivariable es la siguiente:

$f_x= \lim_{h\to0} \frac{f(x+h, y) - f(x,y)}{h}$ y $f_y = \lim_{h\to0} \frac{f(x, y+h) - f(x,y)}{h}$ dan las dos derivadas parciales. Lo que hay que tener en cuenta aquí es que tenemos que ver la derivada parcial. Esto es, como indica Glen O, tomar la derivada en una dirección específica. A veces también escribimos $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ en lugar de $f_x$ y $f_y$ .

Answer 3

Para una función $z=f(x,\space y)$ de dos variables, se puede diferenciar $z$ con respecto a $x$ o $y$ . La tasa de cambio de $z$ con respecto a $x$ se denota por: $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{f(x+h,\space y) - f(x,\space y)}{h}$$ El valor de este límite, si existe, se llama derivada parcial de $f$ con respecto a $x$ .

La tasa de cambio de $z$ con respecto a $y$ se denota por: $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{f(x,\space y+h) - f(x,\space y)}{h}$$ El valor de este límite, si existe, se llama derivada parcial de $f$ con respecto a $y$ .