grupo de elementos cuyas órdenes son una potencia de algún entero

Question

Estoy atascado con el siguiente problema, de "Un libro de álgebra abstracta" de C. Pinter, p. 153 ex. C 6:

Deje que $G$ ser un grupo abeliano, y $H_p$ el subconjunto de $G$ de tal manera que el orden de cada $x \in H_p$ es un poder de $p$ . Demuestra que $H_p$ es un subgrupo de $G$ y que $G/H_p$ no tiene elementos cuyo orden sea un poder no nulo de $p$ .

Así que, para probar que $H_p$ es un subgrupo de $G$ Necesito mostrar (entre otras cosas) que está cerrado bajo la operación del grupo. Que $a$ , $b \in H_p$ por hipótesis $\mathrm {ord}(a) = p^m, \mathrm {ord}(b) = p^n$ para algunos números enteros $m, n$ . Ahora considera $(ab)^{p^{mn}}$ desde que $G$ es abeliana, esto es igual a $a^{p^{mn}}b^{p^{mn}}$ que a su vez es igual a $a^{{(p^m)}^n}b^{{(p^n)}^m}$ que es igual a la identidad $e$ ya que $p^m = \mathrm {ord}(a)$ y $p^n = \mathrm {ord}(b)$ .

En otras palabras, $(ab)^{p^{mn}} = e$ Por lo tanto $\mathrm {ord}(ab)$ divide $p^{mn}$ .

Ahora aquí es donde estoy desconcertado: no se asume nada sobre $p$ . Porque si $p$ se asumieron como primos (como la elección de la letra "p" parece indicar), de hecho parece seguirse que $\mathrm {ord}(ab)$ debe ser en sí mismo un poder de $p$ .

Por el contrario, parece haber contraejemplos cuando $p$ no es primordial, por ejemplo, si tomamos $G = ( \mathbb {Z}_{12},+)$ y establecer $p = 4$ Entonces $H_4$ contiene $3$ ( $\mathrm {ord}(3) = 4$ ), pero $3 + 3 = 6$ tiene orden $2$ que no es un poder de $4$ . En otras palabras, $H_4$ no parece estar cerrado en el marco de la operación de grupo ( $+$ en este caso).

¿Algún comentario? Muchas gracias.

Answer 1

De hecho, tiene toda la razón. $p$ debe ser la base para que la conjetura se sostenga y para que cualquier prueba tenga éxito.

Que el autor no declaró explícitamente que $p$ debe ser primordial fue un gran descuido de su parte!

Answer 2

Thomas bien hecho. En general, si $a, b \in G$ y $a$ y $b$ conmutan y ambos tienen un orden finito, entonces $ord(ab)$ divide lcm $(ord(a),ord(b))$ .