En la plaza de $ABCD,$ $AB=1.$ $BEFA$ y $MNOP$ son congruentes. $BE= a - \sqrt b.$ Donde $a$ $b$ son ambos primos. Cómo encontrar a $a+b$? No tengo idea de cómo hacerlo, este puede ser demostrado con la geometría simple?
Respuesta
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Deje que el lado de la plaza se $p$ (por lo que podemos realizar un mejor seguimiento de las dimensiones) y deje $|\overline{BE}| = q$; y deje $\theta = \angle EMP$. Tenemos dos ecuaciones: $$\begin{align} q + p \sin\theta + q \cos\theta &= p \\ p \cos\theta + q \sin\theta &= p \end{align}$$ La solución para $\cos\theta$ $\sin\theta$ da $$\cos\theta = \frac{p^2 - p q + q^2}{p^2 - q^2}\qquad \sin\theta = \frac{p\, (p - 2 q)}{p^2 - q^2}$$ Desde $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, podemos deducir $$\frac{p\,(p - 2 q)\,(p^2 - 4 p q + q^2)}{(p^2 - q^2)^2} = 0$$ de modo que $q = p/2$ (extraños) o $q = p\,( 2 + \sqrt{ 3 } )$ (extraños) o $q = p\,(2 - \sqrt{3})$ (¡bingo!).
Recordando $p=1$,$a = 2$$b = 3$, por lo que $a+b = 5$. $\square$
Nota: En esta solución, $\theta = 30^\circ$.
