¿Podemos adjuntar libremente tanto límites como colímites a una categoría?

Question

Soy consciente de que dada una categoría $C$ es posible tomar la (co)finalización gratuita de $C$ para unir libremente (co)límites a $C$ en el sentido de que podemos construir un adjunto izquierdo al functor olvidadizo desde la 2-categoría de categorías (co)completas, funtores (co)continuos y transformaciones naturales a la 2-categoría de categorías, funtores y transformaciones naturales.

También podemos considerar el functor olvidadizo $U : \text{Cat}' \to \text{Cat}$ donde $\text{Cat}'$ es la 2-categoría de categorías completas y cocompletas, funtores que preservan todos los límites y colímites, y transformaciones naturales. Mi pregunta es la siguiente: ¿podemos construir un adjunto izquierdo de $U$ ? Si no es así, ¿podemos hacerlo localmente para alguna categoría interesante? $C$ . En otras palabras, ¿cuándo podemos encontrar una categoría $C'$ con un functor $i : C \to U(C')$ que induce una equivalencia entre $\text{Cat}'(C',D)$ y $\text{Cat}(C, U(D))$ para cada categoría completa y cocompleta $D$ ?

Answer 1

Sí. Esto existe por razones más o menos generales y es objeto de [Joyal, Categorías bicompletas gratuitas ]. He aquí una prueba esquemática.

Para simplificar, hablaré de categorías con colímites de $\kappa$ -pequeños diagramas, donde $\kappa$ es un cardinal regular. En concreto, consideremos la siguiente categoría $\mathbf{K}$ :

• Los objetos son pequeñas categorías equipadas con elegido $\kappa$ -coproductos, $\kappa$ -arios, coigualadores de pares paralelos e igualadores de pares paralelos.
• Los morfismos son functores que estrictamente conservan los colímites y límites elegidos.

Por argumentos estándar, $\mathbf{K}$ es un localmente $\kappa$ -categoría presentable. El functor olvidadizo $U : \mathbf{K} \to \mathbf{Cat}$ preserva los colímites de $\kappa$ -y límites de todos los diagramas, por lo que tiene un adjunto izquierdo $F : \mathbf{Cat} \to \mathbf{K}$ . En particular, para cada categoría pequeña $\mathcal{C}$ existe una pequeña categoría $F \mathcal{C}$ con colímites y límites de $\kappa$ -diagramas pequeños y un functor $\eta : \mathcal{C} \to F \mathcal{C}$ con la siguiente propiedad:

• Por cada categoría pequeña $\mathcal{A}$ con colímites y límites de $\kappa$ -y todo functor $h : \mathcal{C} \to \mathcal{A}$ existe un functor $\bar{h} : F \mathcal{C} \to \mathcal{A}$ que preserva colímites y límites de $\kappa$ -(hasta isomorfismo) tales que $\bar{h} \circ \eta = h$ .

Por supuesto, lo anterior sólo se refiere a la parte unidimensional de la propiedad universal. Para obtener la parte bidimensional, obsérvese que $U : \mathbf{K} \to \mathbf{Cat}$ también preserva los cotensores: después de todo, si $\mathcal{A}$ es un objeto en $\mathbf{K}$ entonces $[\mathcal{D}, \mathcal{A}]$ también es un objeto en $\mathbf{K}$ con límites y colímites construidos por componentes. Así, la unión $F \dashv U$ es $\mathbf{Cat}$ -enriquecido. En particular:

• Por cada categoría pequeña $\mathcal{A}$ con colímites y límites de $\kappa$ -diagramas pequeños y cada par paralelo $\bar{h}_0, \bar{h}_1 : F \mathcal{C} \to \mathcal{A}$ que preserva colímites y límites de $\kappa$ -(hasta isomorfismo), toda transformación natural $\bar{h}_0 \circ \eta \Rightarrow \bar{h}_1 \circ \eta$ se extiende a una transformación natural $\bar{h}_0 \Rightarrow \bar{h}_1$ únicamente.