Menos de la norma en conjunto convexo en un espacio de Banach

Question

La siguiente afirmación es verdadera para espacios de Hilbert $H$:

Cada conjunto convexo cerrado ${\cal C} \subset H$ tiene un único elemento $x$ tal que para cualquier $y \in C$,$|x| \leq |y|$.

Es esta declaración sigue siendo la realidad de los espacios de Banach? Si no, ¿qué es un contraejemplo?

Answer 1

Esto es un poco demasiado largo para un comentario. La pregunta fue respondida por Jonas y Giuseppe. Permítanme añadir que un resultado a veces llamado el Día-James teorema caracteriza a los espacios para que la declaración en su pregunta es verdadera:

Para una normativa espacio de $X$ los siguientes son equivalentes:

1. $X$ es estrictamente convexa y reflexiva (en particular, $X$ es completa).
2. Todos los no-vacío cerrado conjunto convexo en $X$ tiene un único punto de mínima norma.

Ver la discusión después de la prueba del Corolario 5.1.19 en la página 436 de Megginson del libro Una introducción al espacio de Banach teoría.

El espacio en el Giuseppe la respuesta no es estrictamente convexo y los Jonas la respuesta no son ni estrictamente convexa ni reflexiva.

La cuestión de la Distancia minimizers en $L^1$ $L^{\infty}$ también podría ser de interés para usted.

Answer 2

Ejercicios 4 y 5 del Capítulo 5 de Rudin del Real y complejo análisis del estado:

4 Deje $C$ ser el espacio de toda función continua en $[0,1]$, con el supremum de la norma. Deje $M$ consta de todos los $f\in C$ para los que $$\int_0^{1/2}f(t)\,dt-\int_{1/2}^1f(t)\,dt=1.$$ Prove that $M$ is a closed convex subset of $C$, que no contiene ningún elemento de mínima norma.

5 Deje $M$ ser el conjunto de todos los $f\in L^1([0,1])$, en relación a la medida de Lebesgue, que $$\int_0^1f(t)\,dt=1.$$ Show that $M$ is a closed convex subset of $L^1([0,1])$ que contiene una infinidad de elementos de mínima norma. (Compare esto y Ejercicio 4 con el Teorema 4.10.)

Usted puede adivinar lo que el Teorema 4.10.

Answer 3

La respuesta es no, en general. Para un ejemplo sencillo considerar la posibilidad de que el avión $\mathbb{R}^2$ equipado con la norma $$\lVert (x, y)\rVert_{\infty}=\max(\lvert x\rvert, \lvert y\rvert).$$ A continuación, considere el segmento vertical $\{(x, y)\ :\ x=1,\ y\in[-1, 1]\}$.