Los números primos de la forma $x^2 + y^2$ sólo puede ser escrito como $a^2 + b^2$ en una manera?

Question

Deje $p$ ser un número primo. Deje $x,y,a,b$ ser distintos números enteros positivos. Si $p=x^2 + y^2$$p\ne a^2+b^2$. ¿Es esto cierto ? Si es así ¿por qué ? ¿Cuáles son las pruebas de esto ? Sé el Fibonacci identitity : http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta%E2%80%93Fibonacci_identity, pero no veo cómo sigue.

Answer 1

Esto es una consecuencia de que $\mathbb{Z}[i]$ es un UFD; desde $p$ puede ser factorizado como $(x+yi)(x-yi)$, y tanto $x+yi$ $x-yi$ son claramente tanto de los números primos, entonces por única factorización $p$ no puede tenerse en cuenta en cualquier otra forma (hasta el orden y la unidad).