¿Cuál es el fallo de esta prueba de que todos los triángulos son isósceles?

Question

¿Cuál es el defecto de esta "prueba" que todos los triángulos son isósceles?

De la página enlazada:

Una ilustración muy conocida de las falacias lógicas a las que son vulnerables los métodos de Euclides (o al menos lo serían si no hiciéramos "trampa" dejándonos guiar por figuras dibujadas con precisión) es la "prueba" de que todos los triángulos son isósceles. Dado un triángulo arbitrario ABC, dibuja la bisectriz del ángulo interior en A, y dibuja la bisectriz del segmento BC en D, como se muestra a continuación:

Si la bisectriz del ángulo en A y la perpendicular de BC son paralelas, entonces ABC es isósceles. En cambio, si no son paralelas, se cruzan en un punto, que llamamos P, y podemos trazar las perpendiculares de P a AB en E, y a AC en F. Ahora bien, los dos triángulos denominados "alfa" en esta figura tienen ángulos iguales y comparten un lado común, por lo que son totalmente iguales. Por tanto, PE = PF. Además, como D es el punto medio de BC, está claro que los triángulos etiquetados como "gamma" son triángulos rectángulos iguales, por lo que PB = PC. De esto se deduce que los triángulos etiquetados como "beta" son similares e iguales entre sí, por lo que tenemos BE+EA = CF+FA, lo que significa que el triángulo ABC es isósceles.

Todos los teoremas de la geometría euclidiana utilizados en el argumento son correctos. Sé que esta afirmación es falsa pero me preguntaba si alguien sabe cuál es el problema. Estoy muy confundido para resolver esta pregunta.

Answer 1

En primer lugar, las otras dos respuestas aquí son incorrectas porque se puede demostrar la afirmación utilizando el mismo defecto si P estuviera fuera del triángulo. La prueba usando la misma falla pero hecha en el exterior del triángulo está aquí: [ [https://www.youtube.com/watch?v=Yajonhixy4g\]\[1\]](https://www.youtube.com/watch?v=Yajonhixy4g][1])

El vídeo hace claramente esta prueba con P en el exterior. Si P estuviera en los segmentos del triángulo, entonces la prueba seguirá siendo válida porque el triángulo AEP será congruente con el triángulo AFP por SAA (lados compartidos, ángulos bisecados, ángulos de 90 grados). Sabes que P y D son los mismos puntos porque la definición de P es donde la bisectriz de la perpendicular se encuentra con la bisectriz del ángulo opuesto, y siempre que el caso en el que P está en BC, sólo puede ser un triángulo si P y D están en el mismo lugar. D es la bisectriz de BC, por lo que también lo es P. EP = FP porque hemos demostrado que AEP = AFP. EBP = FCP porque P es bisectriz de BC y está entre ellos. Como EBP y FCP son triángulos rectángulos y la Hipotenusa y uno de los catetos son congruentes, tenemos que el triángulo EBP es congruente con el triángulo FCP. A partir de aquí, se puede utilizar el álgebra elemental básica para demostrar que AB = AC.

Entonces, ¿qué hay de malo en esta prueba? La respuesta es la interinidad. Cada una de estas pruebas se basan en un cierto orden de los puntos que su dibujo de arriba debe ser:

Seguimos teniendo AE=AF, PE=PF y PB=PC, y sigue siendo cierto que BE=FC, pero AB=AC no es cierto. Esto se debe a que F sigue estando entre A y C, pero E no está entre A y B. Como E no está entre A y B, SAA no se sigue, y tampoco SAS para este caso particular.

Answer 2

El problema es que la perpendicular y la bisectriz no se cruzan dentro del triángulo, como sugiere erróneamente la imagen. De hecho, esta falacia es una prueba por contradicción de que para los triángulos no isósceles el punto de intersección $P$ está necesariamente fuera del triángulo.

Ravi Vakil bromeó diciendo que "la geometría es el arte de sacar conclusiones correctas a partir de imágenes incorrectas". La razón por la que funciona es porque la mayoría de los argumentos geométricos son insensibles a muchas distorsiones, por ejemplo el argumento de la falacia funciona siempre que movamos el punto $P$ dentro del triángulo. Pero hay umbrales que, una vez superados, cambian el panorama cualitativamente. Por eso muchos argumentos se dividen en casos. Olvidar un caso produce falacias, por ejemplo, olvidar que el radio del círculo circunscrito puede estar fuera de un triángulo conduce a una "prueba" de que en cualquier triángulo todos los ángulos son agudos, y el radio es más corto que el lado más largo.

Answer 3

Si el dibujo está hecho correctamente, $P$ necesita estar fuera, pero no también fuera, el triángulo. Si está muy fuera, $E$ está en la extensión de $AB$ y $F$ está en la extensión de $AC$ En este caso, los dos signos más del argumento cambian a signos menos, y el argumento pasa. Si $P$ no está muy lejos, $E$ está en la extensión de $AB$ , $F$ está todavía entre $A$ y $C$ (o al revés), un más se convierte en un menos, y el argumento falla.