Encontrar todas las medidas de Borel $\mu_X$ tal que $Y\sim \mathcal{N}(0,1) \Rightarrow XY \sim \mathcal{N}(0,1)$.

Question

Encuentra todas las medidas de Borel $\mu$ $\mathbb{R}$ tal que para cada independientes de variables aleatorias tales que $X \sim \mu$ $Y\sim \mathcal{N}(0,1)$ tenemos $XY \sim \mathcal{N}(0,1)$.

Para ser honesto, no tengo idea de cómo picadura de este problema así que toda ayuda será apreciada.

$\mathcal{N}(0, 1)$ medios de distribución con $\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ densidad.

Answer 1

Si $\mu$ tiene un número finito de cuarto momento, el uso de $E((XY)^2)=1=E(Y^2)$$E((XY)^4)=3=E(Y^4)$, por lo tanto $E(X^2)=E(X^4)=1$. Esto implica que $E((X^2-E(X^2))^2)=0$, lo $X^2=E(X^2)$ es casi seguramente constante. Desde $E(X^2)=1$, $X=\pm1$ casi seguramente.

Por el contrario, cada una de Bernoulli distribución $\mu=p\delta_1+(1-p)\delta_{-1}$ es una solución.

De lo contrario, el uso de $E(\mathrm e^{\mathrm itXY})=\mathrm e^{-t^2/2}$ y la identidad de $E(\mathrm e^{\mathrm itXY})=E(E(\mathrm e^{\mathrm itXY}\mid X))=E(\mathrm e^{-t^2X^2/2})$ para cada número real $t$. Esto demuestra que la transformada de Laplace de $X^2$ $E(\mathrm e^{-\lambda X^2})=\mathrm e^{-\lambda}$ por cada $\lambda\geqslant0$, por lo tanto, $X^2=1$, casi con toda seguridad, que conduce a la misma conclusión.

Answer 2

Observe que $XY$ tiene un número finito de cuarto momento de la orden, y por la independencia, por lo que no $X$. Denotar por $m_k:=\mathbb E[Z^k]$ donde $Z$ es una variable aleatoria normal estándar. Entonces $m_2=\mathbb E[X^2Y^2]=\mathbb E[X^2]\cdot m_2$ y ya $m_2\neq 0$, $\mathbb E[X^2]=1$. Del mismo modo, conseguimos que los $\mathbb E[X^4]=1$ y esto implica que $X^2$ es casi seguramente constante, decir a $c^2$. Observe que $c=\pm 1$. Queda por determinar las probabilidades.