¿La serie $\sum_{n=2}^\infty \frac {\sin(n+\frac 1n)}{(\ln n)^2}$ convergen?

Question

¿Podría darme alguna pista sobre cómo tratar esta serie?

No pude llegar a una conclusión sobre la convergencia absoluta porque $\frac {\left|\sin\left( n+\frac 1n \right)\right|}{(\ln n)^2}\le \frac 1{(\ln n)^2}$ no me lleva a ninguna parte.

He intentado utilizar la prueba de Dirichlet para demostrar la convergencia de esta serie: $\sum_{n=2}^\infty \frac {\sin\left( n+\frac 1n \right)}{(\ln n)^2}$ pero no pude probar que $\sum_{n=2}^\infty \sin(n+\frac 1n)$ están acotadas.

Gracias.

Answer 1

$\sin (n+\frac{1}{n}) = \sin n \cos \frac{1}{n} + \sin \frac{1}{n} \cos n$

En primer lugar $\sum_{n=2}^\infty \frac{\sin \frac{1}{n} \cos n}{\ln ^2 n}$ es absolutamente convergente a partir de la prueba de comparación, porque

$\sum_{n=2}^\infty \left| \frac{\sin \frac{1}{n} \cos n}{\ln ^2 n} \right| \le \sum_{n=2}^\infty \frac{\frac{1}{n} \cdot 1}{\ln ^2 n} < \infty$

La convergencia de la última serie se deduce, por ejemplo, de http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_condensation_test

En segundo lugar, observe que la función $f(x)=\frac{\cos \frac{1}{x}}{\ln ^2 x}$ es decraising para grandes $x$ porque $f'(x)= \frac{\ln x \sin \left( \frac{1}{x} \right) -2x \cos \left( \frac{1}{x} \right)}{\ln ^3 x}$ ,

Es fácil ver que $\lim_{x\to \infty} f'(x) = -\infty$ por lo tanto hay $M>0$ tal que para $\mathbb{N} \ni n> M$ secuencia $\left( f(n) \right)_{n>M}$ es decreciente y tiende a $0$ . Si pudiéramos demostrar que $\left|\sum_{k=1}^n \sin k \right| $ está acotada, bastaría con aplicar la prueba de Dirichlet para demostrar que $\sum_{n=2}^\infty \frac{\sin n \cdot \cos \frac{1}{n}}{\ln ^2 n}$ diverge.

Es bien sabido que $\sum_{k=1}^n \sin ka = \frac{\sin \left(\frac{na}{2} \right) \sin \left( \frac{(n+1)a}{2} \right)}{\sin \left( \frac{a}{2}\right)}$ (se puede demostrar f.e mediante números complejos), por lo que

$\left| \sum_{k=1}^n \sin k \right| \le \frac{1}{\left| \sin \frac{1}{2}\right|}$ .

Resumiendo: $\sum_{n=2}^\infty \frac{\sin (n+ \frac{1}{n})}{\ln ^2 n}$ converge como suma de dos series convergentes.

Answer 2

1. La serie $\sum_{n\geqslant 2}\frac{\sin n}{(\log n)^2}$ es convergente (utilice un argumento de suma por partes).

2. Tenemos $\left|\sin\left(n+\frac 1n\right)-\sin n\right|\leqslant \frac 1n$ .

3. La serie $\sum_{n\geqslant 2}\frac 1{n(\log n)^2}$ es convergente.