¿Nada es conocido acerca de la clase de grupos con subgrupo conmutador cíclico?
Respuestas
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Quizás vale la pena comentar que (como debe ser conocida), (no trivial) grupos finitos $G$ $G^{\prime}$ cíclicos son supersolvable, es decir, la totalidad de sus factores principales son cíclicos de primer orden. Deje $G$ ser un grupo. Entonces, cuando $N \lhd G$, los derivados de los subgrupos de $G/N$ también es cíclico. Ahora vamos a $M$ ser un mínimo normal subgrupo de $G.$ $[G,M] \lhd G$ $[G,M] \leq M.$ Si $[G,M] = 1,$ $M \leq Z(G),$ $M$ es cíclico por minimality. Si $[G,M] = M,$ $M \leq G^{\prime},$ $M$ es cíclico (y de primer orden). Por inducción, $G/M$ es supersolvable, así que ahora $G$ es.
Dietrich Burde
Puntos
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Estos grupos son una clase especial de metabelian grupos. En general, una clasificación no es posible, pero en varios casos especiales han sido tratados. Como un ejemplo, el $2$generados finito $p$-grupos con esta propiedad (es decir, con cíclico colector subgrupo) se han clasificado por R. J. Miech en el artículo En $p$-grupos con un cíclica del conmutador. Algunos otros ejemplos se han estudiado, por ejemplo, ver Colector de un subgrupo del grupo generado por dos elementos de orden 2, etc.
