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Definición de grupo susceptible

He intentado en varias ocasiones comprender las numerosas definiciones equivalentes de un grupo susceptible. ¿Es correcta la siguiente afirmación?

Un grupo $G$ es susceptible si y sólo si, para cualquier subconjunto finito $X$ de $G$ y cualquier $\epsilon > 0$ existe un subconjunto finito $A$ del subgrupo $\langle X \rangle$ de $G$ generado por $X$ , de tal manera que $|xA \, \Delta\, A|/|A| < \epsilon$ para todos $x \in X$ .

Gracias.

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Martin Puntos 5810

Sí, esto es correcto.

Como señala Yves Cornulier, su condición implica la Condición de Følner que es el mismo que el tuyo, pero con la condición $A \subseteq \langle X \rangle$ eliminado.

Por el contrario, supongamos que $G$ es susceptible. Entonces el subgrupo $H = \langle X \rangle$ es susceptible y si $(F_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es un Secuencia de Følner para $H$ entonces elegir $n$ suficientemente grande nos permite tomar $A = F_n$ .

Una ventaja de su condición es que es inmediatamente claro que un subgrupo de un grupo que satisface su condición también satisface su condición. Para demostrar que la condición habitual de Følner pasa a los subgrupos se requiere un argumento adicional.

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