Intervalo de confianza para uniforme ($\theta$, $\theta + a$)

Question

Yo soy de encontrarse con una dificultad con la siguiente tarea. He cometido un error, o es un defecto inherente a la noción de los intervalos de confianza? (Otros defectos de existir).

Considere una muestra aleatoria $X_1,\ldots , X_n$ a partir de un Uniforme($\theta$, $\theta + a$) la distribución, donde la $\theta$ es desconocido y $a$ es conocido. Queremos determinar un intervalo de confianza para $\theta$.

El lector puede verificar la siguiente información: estadísticas de $Y=\text{min}_i X_i$ $Z=\text{max}_i X_i$ en conjunto son suficientes para $\theta$. Para $\theta \le c_1 \le c_2 \le \theta + a$, $P\{c_1 \le Y \le Z \le c_2\} = [(c_2 - c_1)/a]^n$. Para$0 < \gamma < 1$,$d_1 =(1-\sqrt[n]\gamma)/2$$d_2 =(1+\sqrt[n]\gamma)/2$. Entonces $\gamma = P\{\theta + ad_1 \le Y \le Z \le \theta + primavera_2\} = P\{Z -primavera_2 \le \theta \le Y-ad_1\}$. Thus, $[Z -primavera_2, Y-ad_1]$ is a $\gamma$ confidence interval for $\theta$.

Ahora aquí está la dificultad: Si observamos $Z - Y > a\sqrt[n]\gamma$,$Z -ad_2 > Y -ad_1$, por lo que nuestra fórmula genera una respuesta sin sentido. He cometido un error en mis cálculos? O es este uno de los problemas con los intervalos de confianza?

(Tarea? Supongo que sí, pero una tarea problema que yo escribí para mis estudiantes. Inspirado por otro problema en DeGroot Y Schervish.)

[También publicado en matemáticas.stackexchange. Yo no sabía nada de este grupo, y no he recibido respuesta satisfactoria allí.]

Answer 1

Es posible construir tonto de los intervalos de confianza que son técnicamente válida, es decir, han reclamado la cobertura, pero no es obligatorio. Así que no sé por qué hacerlo, debe demostrar un defecto en el "intervalo de confianza de la metodología" (sea lo que es)—se podría haber construido una que sea más adecuada para sus propósitos.

Una más ortodoxos de enfoque para este problema en particular:

En primer lugar, tenga en cuenta que la estadística suficiente $(Y,Z)$ tiene una evidente auxiliares componente: la muestra rango de $Z-Y$. Es muy fuerte la precisión del índice: a medida que se aproxima $a$, $\theta$ es conocido casi exactamente. Por lo que cualquier inferencia debe estar condicionada a su valor observado $z-y$.

Segundo, la muestra mínima $Y$ condicional en el valor observado de la gama está distribuido uniformemente entre $\theta$$\theta+a-r$. Los intervalos de confianza basados en esta distribución podría ser construido y sería portado bien. Aún así, la probabilidad de $\theta$ plano entre el$z-a$$y$, por lo que no sería posible decir que para cualquier intervalo de confianza con menos de 100% de cobertura que contiene los valores de $\theta$ menos discrepantes con los datos que los que están fuera de ella. Mejor quedarse con el 100% de intervalo.

[Respuesta a los comentarios:

(1) con Su intervalo de confianza tiene algunos efectos indeseables* pero eso no es motivo para tar todos los intervalos de confianza con el mismo pincel. Sólo tomó incondicional de cobertura en cuenta cuando se derivan de ella y por lo tanto no tienen derecho a quejarse incondicional que la cobertura es todo lo que se le da.

(2) es verdad que el $\left(Y-\left(1-\frac{1-\gamma} 2\right)(a-r),Y-\frac{1-\gamma} 2(a-r)\right)$ es válido C. I., con la condición de $r$, pero ¿por qué no usar $(Y-\gamma(a-r),Y)$? La probabilidad es $\frac{1}{a-r}$ para todos los valores de $\theta$$y+r-a$$y$, y no veo ninguna generalmente irresistible razón para honrar a un arbitrario 95% de los valores de la inclusión en mis intervalo de confianza. El 100% de intervalo de $(y+r-a,y)$ es preferible que separa a cero la probabilidad de los valores de $\theta$ de aquellos con probabilidad positiva.

*Al menos para la inferencia en $\theta$ a partir de una sola muestra: puede haber algunas aplicaciones—por ejemplo en el control de calidad, donde la consideración de la cobertura en repetidas muestras es más que un experimento de pensamiento—para el que podría tener algún uso.]