¿Cómo se integra de Gauss integral con contorno método de integración?

Question

¿Cómo se integra $$\int^{\infty}_{-\infty} e^{-x^2} dx$$, con contorno método de integración?

Yo no sé ni cómo configurar el problema.

Answer 1

Sine el integrando es una función par, entonces tenemos

$$ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = {2}\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx. $$

Haciendo el cambio de variables $u=x^2$ integral en consideración se convierte en

$$ I = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-u}}{\sqrt{u}} dx.$$

Por lo que podemos considerar el complejo integral

$$ \int_{C}\frac{e^{-z}}{\sqrt{z}} dz $$

Ahora lo que necesita para elegir el derecho de contorno señalar que tenemos el $z=0$ como un punto de ramificación.