Mostrar que $\Bbb{Z}/4\Bbb{Z}\times\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\not\cong\Bbb{Z}/8\Bbb{Z}$

Question

Demostrar que $\Bbb{Z}/8\Bbb{Z}$ $\Bbb{Z}/4\Bbb{Z}\times \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$ no son isomorfos.

Prueba: sabemos que si $y\in\Bbb{Z}/8\Bbb{Z}$,$\max_{y\in\Bbb{Z}/8\Bbb{Z}}\left\{ \text{ord}(y) \right\}=8$, pero si $x\in\Bbb{Z}/4\Bbb{Z}\times\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$,$\max_{x\in\Bbb{Z}/4\Bbb{Z}\times\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}}\left\{ \text{ord}(x) \right\}=4$. Por lo tanto,$\Bbb{Z}/4\Bbb{Z}\times\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\not\cong\Bbb{Z}/8\Bbb{Z}$.

Esta es una prueba válida? Ifso puedo hacer lo mismo para $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\times\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\times\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$, todos los consejos/sugerencias?

Answer 1

Su observación de que $\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$ no tiene ningún elemento de orden $8$ es correcto y muestra que el grupo no puede ser isomorfo a $\Bbb Z/8\Bbb Z$.

Un argumento similar se utiliza la observación de que en $\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$ uno puede encontrar más de un subgrupo compuesto de $2$ elementos. Esto muestra que el grupo no puede ser cíclico como un grupo cíclico de orden $n$ tiene un único subgrupo de orden $d$ para cada divisor $d$ a de su orden.