No sé una referencia específica, pero puedo dar una explicación de cómo clasificar ramificado doble cubre de cualquier variedad de $X$ más de una algebraicamente cerrado de campo.
Decir $f :Y \to X$ es un ramificado, de doble cubierta. A continuación, $f$ es finito de grado dos por lo que podemos considerar $\mathcal{A}:= f_*\mathcal{O}_Y$ que es un rango de dos localmente libre de gavilla en $X$. Es natural mapa de $j:\mathcal{O}_X \to \mathcal{A}$, lo $\mathcal{A}$ $\mathcal{O}_X$ álgebra. Por otro lado, hay una norma mapa de $T_{Y/X} : \mathcal{A} \to \mathcal{O}_X$ que en cuñados es habitual que se traza el mapa integral de extensión de anillo. La comprobación de la cuñados, conseguimos que los $T_{Y/X}\circ j : \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X$ es la multiplicación por $2$ (el grado de la integral anillo de extensión). Por lo tanto, $\frac{1}{2} T_{Y/X}$ proporciona una separación y por lo tanto obtenemos que
$$
\mathcal{A} = \mathcal{S}_X \oplus \mathcal{L}
$$
donde $\mathcal{L}$ es cierta línea de paquete.
Desde $\mathcal{A}$ se divide como este, la multiplicación $m : \mathcal{A} \otimes \mathcal{A} \to \mathcal{A}$ se descompone como mapas
$$
\mathcal{S}_X \otimes \mathcal{S}_X \a \mathcal{A} \enspace \enspace \enspace \mathcal{S}_X \otimes \mathcal{L} \\mathcal{A} \enspace \enspace \enspace \mathcal{L} \otimes \mathcal{S}_X \a \mathcal{A} \enspace \enspace \enspace \mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \\mathcal{A}.
$$
Los tres primeros mapas se determina únicamente por el hecho de que $\mathcal{A}$ $\mathcal{O}_X$ álgebra y así la multiplicación en $\mathcal{A}$ $\mathcal{O}_X \subset \mathcal{A}$ es habitual que la multiplicación por $\mathcal{O}_X$ $\mathcal{O}_X$ módulo.
Por lo tanto toda la información de la estructura de álgebra de $\mathcal{A}$ está contenida en el mapa de $\mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \to \mathcal{A} = \mathcal{O}_X \oplus \mathcal{L}$. Podemos dividir esta más en los mapas de $\mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \to \mathcal{O}_X$$\mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \to \mathcal{L}$.
Veamos ahora los tallos. Dado que este es un doble cubierta, el tallo de $\mathcal{A}$ $x \in X$ es $k^2$ o $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ con el último ocurre si y sólo si $f$ se ramificó por encima de $x$. A continuación, un stalkwise cálculo muestra que el mapa de $\mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \to \mathcal{L}$ desaparece, de modo que sólo tenemos un mapa de $\mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \to \mathcal{O}_X$ e este mapa es cero, precisamente cuando el tallo es $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$, es decir, sobre la rama de locus.
De esta manera, a cualquier doble de la cubierta $f: Y \to X$ podemos asociar una línea bundle $\mathcal{L}$ y un mapa de la $\mathcal{L}^{2} \to \mathcal{O}_X$ que se desvanece exactamente en la rama de locus de $f$. Dualizing obtenemos un mapa de $\mathcal{O}_X \to \mathcal{L}^{-2}$, es decir, una sección global de $\mathcal{L}^{-2}$ cuyo locus de fuga es la rama de locus de $f$. Uno puede mostrar que esto le da una correspondencia uno a uno entre ramificada doble cubre y los pares de una línea bundle $\mathcal{L}$ y una sección de $\mathcal{L}^{-2}$.
$\textbf{EDIT}$ Lo que escribí acerca de cómo ir hacia atrás y la construcción de una doble cubierta de $X$ dado una sección de $\mathcal{L}^{-2}$ estaba equivocado. Voy a actualizar cuando me figura una buena manera de hacer esto.
