Derroteros con números repetitivos

Question

Tengo un problema muy simple.

Supongamos que tengo una baraja de 52 cartas bien barajada. Empiezo a sacar la carta superior siempre y cuando la carta coincide con su rango pierdo. J=11 Q=12 K=13.

Si sólo hubiera 13 tarjetas, podría utilizar fácilmente el $\ \frac{!n}{n!}$ para los desórdenes con el fin de resolver esto. El problema es que hay 52 cartas por lo que cuando paso 13 vuelvo a empezar desde el 1 por lo que no sé cuál es la probabilidad de ganar. Ejemplo de juego

1ª carta: 4 - Continuar
2ª Carta: A - continúa
3ª Carta: K - Continuar
4ª Carta: K - Continuar
5ª Carta: 6 - Continuar
6ª Carta: 9 - Continuar
7ª Carta: 10 - Continuar
8ª Carta: A - Continuar
Novena tarjeta: J - Continúa
10ª Carta: 3 - Continuar
11ª carta: 2 - Continuar
12ª tarjeta: 8 - Continuar
13ª Carta: A - Continuar
1ª carta: 5 - Continuar
2a Carta 2 PÉRDIDA

Así que en realidad tengo que contar del 1 al 13 4 veces y si saco las 52 cartas entonces gano. ¿Cuál es la probabilidad?

Answer 1

La respuesta se da en esta sección de Wikipedia sobre los desórdenes generalizados. El número de permutaciones de $52$ tarjetas con $4$ copias de cada uno de $13$ rangos que no dejan ninguno de los rangos en su lugar es

$$\begin{align} &\int_0^\infty (4!\cdot L_4(x))^{13}\mathrm e^{-x}\,\mathrm dx =\int_0^\infty\left(x^4-16x^3+72x^2-96x+24\right)^{13}\mathrm e^{-x}\,\mathrm dx \\\\\\ =&1309302175551177162931045000259922525308763433362019257020678406144 \end{align}$$

( cálculo ), donde $L_4(x)$ es el cuarto Polinomio de Laguerre . Dado que hay

$$52!=80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000$$

permutaciones de las cartas en total, sus posibilidades de ganar son

$$\frac{1309302175551177162931045000259922525308763433362019257020678406144}{80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000}$$

$$=\frac{4610507544750288132457667562311567997623087869}{284025438982318025793544200005777916187500000000}$$

$$\approx0.0162\;.$$

Ver también ¿Cuál es la expresión general de la probabilidad de un sorteo de intercambio de regalos fallido? , Polinomios de Laguerre y inclusión-exclusión y Contando algunos desórdenes especiales .