Considere la posibilidad de una luna que gira alrededor de su planeta en una órbita circular. La luna es de mareas bloqueado a su planeta, y tiene dos permanentes protuberancias, no exactamente alineado con el planeta. De acuerdo a la teoría de Newton de la gravitación, de la luna debe oscila alrededor de su equilibrio alineación con el planeta. Estoy pensando en una simple luna representado por dos piezas pequeñas, con gravitationnal fuerza que actúa sobre cada parte. La línea que une las dos partes es confinado en el plano orbital sólo, por simplicidad. La luna se comporta como un péndulo. Por muy pequeños desplazamientos angulares $\vartheta$, he encontrado esta ecuación diferencial : \begin{equation}\tag{1} \ddot{\vartheta} + \frac{3 G M}{r_{\text{cm}}^3} \, \vartheta = 0, \end{equation} donde $M$ es la masa del planeta, y $r_{\text{cm}}$ es la distancia del planeta al centro de masa de la luna. Esta es la ecuación de oscilaciones armónicas, y las oscilaciones de la frecuencia angular es así \begin{equation}\tag{2} \Omega = \sqrt{\frac{3 G M}{r_{\text{cm}}^3}}. \end{equation} Para nuestra Luna, esto le da un período de 15.8 días. En la superficie de la Tierra, la celebración de una varilla larga de su centro de masa, se le da un período de 48.7 minutos (esto es demasiado largo para ser medibles, debido a la fricción que se estabilice la varilla en su equilibrio en posición vertical. También, la imprecisión en el apoyo de la inclinación de la varilla mucho más rápido en un sentido o en otro).
Ahora, nunca he visto esto en cualquier lugar, y yo necesito una confirmación de que es lo correcto. Buscando con Google acerca de la luna oscilaciones me da nada.
Estoy muy sorprendido de que el momento de inercia no se muestran en la frecuencia angular de la fórmula (2).
EDIT : he Aquí algunos detalles. La luna y sus curvaturas se modela como una luz de pescar con una masa esférica en cada extremo (mancuerna-como la luna). El momento angular de espín se define con respecto al centro de masa de la luna : \begin{equation}\tag{3} \vec{S} = m_1 \, \vec{\tilde{r}}_1 \times \vec{\tilde{v}}_1 + m_2 \, \vec{\tilde{r}}_2 \times \vec{\tilde{v}}_2, \end{equation} donde $m_1 = m_2 = \tfrac{1}{2} \, m_{\text{moon}}$, y los vectores con una tilde se definen con respecto al centro de masa del marco. Tenemos $\vec{\tilde{r}}_2 = -\, \vec{\tilde{r}}_1$ (ver la foto de abajo).
Usando la regla de la mano derecha para el producto cruzado, me encuentro esto : \begin{equation}\tag{4} S = (m_1 \, \tilde{r}_1^2 + m_2 \, \tilde{r}_2^2) (\omega_{\text{rev}} - \dot{\vartheta}) \equiv I \, \omega_{\text{rot}}. \end{equation} El tiempo derivado de la vuelta vector es igual al torque aplicado sobre la luna : \begin{align} \frac{d\vec{S}}{dt} &= \vec{\tilde{r}}_1 \times \vec{F}_1 + \vec{\tilde{r}}_2 \times \vec{F}_2 \\[12pt] &= -\, \vec{\tilde{r}}_1 \times \frac{G M m_1}{r_1^3} \, \vec{r}_1 - \vec{\tilde{r}}_2 \times \frac{G M m_2}{r_2^3} \, \vec{r}_2 \\[12pt] &= -\, \frac{G M m}{2} \Big( \frac{1}{r_1^3} \, \vec{\tilde{r}}_1 \times (\vec{r}_{\text{cm}} + \vec{\tilde{r}}_1) + \frac{1}{r_2^3} \, \vec{\tilde{r}}_2 \times (\vec{r}_{\text{cm}} + \vec{\tilde{r}}_2) \Big) \\[12pt] &= -\, \frac{G M m}{2} \Big( \frac{1}{r_1^3} - \frac{1}{r_2^3} \Big) \, \vec{\tilde{r}}_1 \times \vec{r}_{\text{cm}} \tag{5} \end{align} La expansión de la última paréntesis a menor da \begin{equation} \frac{1}{r_1^3} - \frac{1}{r_2^3} \approx \frac{6 \, \tilde{r}_1}{r_{\text{cm}}^4} \, \cos{\vartheta}. \end{equation} La sustitución de este y (4) en equ. (5), utilizando el pequeño ángulo de aproximación : $2 \sin{\vartheta} \, \cos{\vartheta} \equiv \sin{2\vartheta} \approx 2 \vartheta$, y simplificando, da equ. (1).
