Comparación de Newton-Cotes de Cuadratura y de la Cuadratura de Gauss fórmulas

Question

Newton-Cotes fórmulas de cuadratura es una generalización de la de trapecio y la regla de Simpson. La regla trapezoidal involucra $2$ puntos, la regla de Simpson involucra $3$, y, en general, de Newton-Cotes existen fórmulas para cualquier número de puntos de muestra.

También hay cuadratura de Gauss reglas, para cualquier número de puntos.

¿Cuáles son las principales diferencias entre un Newton-Cotes fórmula de Cuadratura y una Cuadratura de Gauss fórmula?

Answer 1

Newton-Cotes dice "pick puntos igualmente espaciados en el intervalo, dibujar la interpolación polinómica de grado mínimo a través de ellos, e integrar el polinomio." A partir de la interpolación de Lagrange teorema, una de Newton-Cotes regla en $n$ nodos es exacta para polinomios de grado en la mayoría de las $n-1$. No es exacta para polinomios de cualquier grado más alto, porque uno puede agregar un polinomio de grado $n$ que se desvanece en el $n$ nodos y toma cualquier valor deseado en un punto adicional, y el de Newton-Cotes regla no "detectar" este cambio.

La cuadratura de gauss dice "encontrar una regla que nos permite exactamente integrar polinomios de mayor grado posible". Esto termina siendo grado $2n-1$, ya que se tiene el control de $2n$ parámetros en la especificación de una regla de cuadratura en $n$ nodos, y los parámetros son independientes.

El análisis de cualquiera de los métodos generalmente es inspirado por la aproximación de Weierstrass teorema, el cual genera el siguiente tipo de argumento. Aquí $I$ denota integración exacta, $Q_n$ denota la cuadratura de la integración con una regla en la $n$ nodos, y $p$ es un polinomio.

$$| I(f) - Q_n(f) | \leq | I(f) - I(p) | + | I(p) - Q_n(p) | + | Q_n(p) - Q_n(f) | $$

El teorema de Weierstrass y el hecho de que $I$ es un delimitada lineal funcional (en particular, $\| I \| = I(1)$) nos permiten hacer el primer término pequeño, posiblemente a expensas de $p$ tener un gran grado. La elección de $n$ lo suficientemente grande nos permite hacer el segundo término de cero, ya que para un número suficientemente grande de nodos, tanto de Newton-Cotes y de la cuadratura de Gauss puede ser hecha exacta para polinomios de cualquier grado deseado.

El problema para el numéricos analista es el control de la pasada legislatura, sin ningún tipo de control sobre $n$ y sólo el saber que $\| p - f \|$ es pequeña. $Q_n$, como $I$, es lineal, de manera que podemos escribir $Q_n(p) - Q_n(f) = Q_n(p-f)$. $Q_n$ es también limitada: tenemos $|Q_n(f)| \leq \| f \| \sum_{k=1}^n |w_k|$ donde $w_k$ son los pesos, por lo $\| Q_n \| \leq \sum_{k=1}^n |w_k|$. Este límite se alcanza, como podemos comprobar mediante la integración de una función acotada por $\pm 1$ que pasa a través de $(x_k,\text{sign}(w_k))$.

El hecho de que el $Q_n$ son cada limitada no es lo suficientemente bueno. Desde simultáneamente el control de los dos primeros términos de la toma de distancia de nuestro control sobre $n$, tenemos $Q_n$ a uniformemente acotada.

Resulta que Newton-Cotes reglas no tienen $Q_n$ uniformemente acotado, mientras que el de la cuadratura de Gauss. La idea es reconocer que, debido a que estos métodos son exacta para polinomios de grado $0$, $\sum_{k=1}^n w_k = I(1)$. Si el $w_k$ son todas positivas, a continuación,$\| Q_n \| = \sum_{k=1}^n |w_k| = I(1)$, que es independiente de la $n$, como queremos. Uno puede demostrar a partir de la propiedad de ser exacta para polinomios de grado $2n-1$ que todos los pesos en cuadratura de Gauss son positivos. (El truco es integrar a $\prod_{k=1,k \neq j}^n (x-x_k)^2$ por cada $j$.) En consecuencia, de la cuadratura de Gauss es convergente. En particular, si existe $p$ tal que $\| p - f \| < \varepsilon/(2I(1))$ y el grado de $p$ es en la mayoría de las $m$,$|I(f)-Q_n(f)|<\varepsilon$$n \geq (m+1)/2$.

El peso en Newton-Cotes de cuadratura son no positivos. Por otra parte, $\| Q_n \|$ es ilimitado para Newton-Cotes reglas. Esto significa que si $p-f$ está cerca de un múltiplo de un interpolant de $(x_k,\text{sign}(w_k))$, $Q_n(p-f)$ puede ser muy grande, aunque $\| p - f \|$ es pequeña. En consecuencia Newton-Cotes reglas no son convergentes para todos continuas $f$. Muy "agradable" funciones " $f$ va a converger con la de Newton-Cotes reglas, pero Runge el conocido ejemplo con $1/(x^2+1)$ muestra que el número de derivados que no es lo "bonito". (La respuesta resulta ser que los coeficientes de Fourier de la caries suficientemente rápido.)

Answer 2

@Jed;

Newton Cotes formularios de recogida puntos igualmente espaciados en el intervalo de integración, de la cuadratura de Gauss recoge los mejores puntos. Por esta razón, la cuadratura de Gauss es más preciso y menos utiliza los paneles. Esto significa que menos de la función de las evaluaciones y por lo tanto menos posibilidad de que el error de redondeo y mayor velocidad. También Newton, incluye las estaciones ( aunque hay formas que no). A menudo, estos son difíciles de un equipo para manejar y debe ser abordado por el usuario. Gauss no se incluyen los extremos.

Formas superiores de Newton también tienden a tener grandes coeficientes. Estos actuarán como error multiplicadores y por lo tanto es menos numéricamente estable que la de Gauss.

En el otro lado de Newton Cotes " formas tienen la ventaja de ser más fácil de calcular el error de estimación. Debido a esto la regla Trapezoidal se utilizan en la integración de Romberg.