Es $\{\sin(\omega n), n \geq 1\}$ estrictamente un proceso estacionario?

Question

Deje $X(t)=\sin(\omega t)$ donde $\omega$ es distribuido uniformemente R. V. en $[0,2π]$. Deje $X_n=X(n)$ $\{X_n,n \geq 1\}$ estrictamente proceso estacionario?

He calculado que la función de distribución de $X_n$ es

$f_{X_n}(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{1-x^2}}$.

¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

El proceso no es estacionario. Por ejemplo, por cada pequeño $\varepsilon$, en el caso de $[X_1\geqslant1-\varepsilon,|X_3|\leqslant\varepsilon]$ está vacío, mientras que el caso de $[X_2\geqslant1-\varepsilon,|X_4|\leqslant\varepsilon]$ tiene probabilidad positiva.

Para ver esto, observe que $[X_1\geqslant1-\varepsilon]$ corresponde a $\omega$ cerca de $\frac\pi2$ $[|X_3|\leqslant\varepsilon]$ corresponde a $\omega$ cerca de $n\frac\pi3$ para algunos entero $0\leqslant n\leqslant6$, por lo tanto $[X_1\geqslant1-\varepsilon]$ $[|X_3|\leqslant\varepsilon]$ no son compatibles cuando se $\varepsilon$ es pequeña, mientras que $[X_2\geqslant1-\varepsilon,|X_4|\leqslant\varepsilon]$ es cuando se dio cuenta de $\omega$ está cerca de a $\frac\pi4$.

Answer 2

Un bonito y sencillo argumento, como se ha proporcionado por lo hizo.

Aquí utilizamos el hecho de que si $(Y_n,n\geqslant 1)$ es estrictamente estacionario de la secuencia, y $\varphi\colon\mathbb R^\infty\to\mathbb R^\infty$ es medible, entonces $\varphi((Y_n,n\geqslant 1))$ es estrictamente estacionario de la secuencia. Utilizamos esta con $\varphi((x_n,n\geqslant 1))=(x_nx_{n+1},n\geqslant 1)$. Si $(X(n),n\geqslant 1)$, al igual que en el OP era estacionaria, por lo que sería la secuencia de $(\sin(nU)\sin((n+1)U),n\geqslant 1)$, es decir, la secuencia de $(\cos U-\cos((2n+1)U),n\geqslant 1)$. El uso de este momento $\varphi((x_n,n\geqslant 1)):=(x_ 1,x_1+x_2,x_1+x_2+x_3,\dots)$, we would get the stationarity of $(y_n,n\geqslant 1)$ with $Y_n=\cos((2n-1)U)-\cos((2n+1)U)$. En este caso, las variables aleatorias $$\sum_{j=1}^nY_j=1-\cos((2n+1)U)\quad \mbox{and}\quad \sum_{j=n+1}^{2n}Y_j=\cos((2n+1)U)-\cos((4n+1)U)$$ deben tener la misma distribución. Pero la primera es no negativo y el segundo toma valores negativos con una probabilidad positiva.