Un bonito y sencillo argumento, como se ha proporcionado por lo hizo.
Aquí utilizamos el hecho de que si (Y_n,n\geqslant 1) es estrictamente estacionario de la secuencia, y \varphi\colon\mathbb R^\infty\to\mathbb R^\infty es medible, entonces \varphi((Y_n,n\geqslant 1)) es estrictamente estacionario de la secuencia. Utilizamos esta con \varphi((x_n,n\geqslant 1))=(x_nx_{n+1},n\geqslant 1). Si (X(n),n\geqslant 1), al igual que en el OP era estacionaria, por lo que sería la secuencia de (\sin(nU)\sin((n+1)U),n\geqslant 1), es decir, la secuencia de (\cos U-\cos((2n+1)U),n\geqslant 1). El uso de este momento \varphi((x_n,n\geqslant 1)):=(x_
1,x_1+x_2,x_1+x_2+x_3,\dots), we would get the stationarity of (y_n,n\geqslant 1) with Y_n=\cos((2n-1)U)-\cos((2n+1)U). En este caso, las variables aleatorias
\sum_{j=1}^nY_j=1-\cos((2n+1)U)\quad \mbox{and}\quad \sum_{j=n+1}^{2n}Y_j=\cos((2n+1)U)-\cos((4n+1)U)
deben tener la misma distribución. Pero la primera es no negativo y el segundo toma valores negativos con una probabilidad positiva.