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Es {sin(ωn),n1} estrictamente un proceso estacionario?

Deje X(t)=sin(ωt) donde ω es distribuido uniformemente R. V. en [0,2π]. Deje X_n=X(n) \{X_n,n \geq 1\} estrictamente proceso estacionario?

He calculado que la función de distribución de X_n es

f_{X_n}(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{1-x^2}}.

¿Alguien puede ayudarme?

5voto

Did Puntos 1

El proceso no es estacionario. Por ejemplo, por cada pequeño \varepsilon, en el caso de [X_1\geqslant1-\varepsilon,|X_3|\leqslant\varepsilon] está vacío, mientras que el caso de [X_2\geqslant1-\varepsilon,|X_4|\leqslant\varepsilon] tiene probabilidad positiva.

Para ver esto, observe que [X_1\geqslant1-\varepsilon] corresponde a \omega cerca de \frac\pi2 [|X_3|\leqslant\varepsilon] corresponde a \omega cerca de n\frac\pi3 para algunos entero 0\leqslant n\leqslant6, por lo tanto [X_1\geqslant1-\varepsilon] [|X_3|\leqslant\varepsilon] no son compatibles cuando se \varepsilon es pequeña, mientras que [X_2\geqslant1-\varepsilon,|X_4|\leqslant\varepsilon] es cuando se dio cuenta de \omega está cerca de a \frac\pi4.

2voto

Davide Giraudo Puntos 95813

Un bonito y sencillo argumento, como se ha proporcionado por lo hizo.

Aquí utilizamos el hecho de que si (Y_n,n\geqslant 1) es estrictamente estacionario de la secuencia, y \varphi\colon\mathbb R^\infty\to\mathbb R^\infty es medible, entonces \varphi((Y_n,n\geqslant 1)) es estrictamente estacionario de la secuencia. Utilizamos esta con \varphi((x_n,n\geqslant 1))=(x_nx_{n+1},n\geqslant 1). Si (X(n),n\geqslant 1), al igual que en el OP era estacionaria, por lo que sería la secuencia de (\sin(nU)\sin((n+1)U),n\geqslant 1), es decir, la secuencia de (\cos U-\cos((2n+1)U),n\geqslant 1). El uso de este momento \varphi((x_n,n\geqslant 1)):=(x_ 1,x_1+x_2,x_1+x_2+x_3,\dots), we would get the stationarity of (y_n,n\geqslant 1) with Y_n=\cos((2n-1)U)-\cos((2n+1)U). En este caso, las variables aleatorias \sum_{j=1}^nY_j=1-\cos((2n+1)U)\quad \mbox{and}\quad \sum_{j=n+1}^{2n}Y_j=\cos((2n+1)U)-\cos((4n+1)U) deben tener la misma distribución. Pero la primera es no negativo y el segundo toma valores negativos con una probabilidad positiva.

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