¿Cómo podemos determinar la asociatividad de una estructura binaria a partir de su tabla de Cayley?

Question

Supongamos que $S$ es un conjunto finito con una operación binaria $*$ dada por una tabla de Cayley. Mientras que la conmutatividad de $*$ puede determinarse sobre la base de la simetría de la tabla a través de la diagonal superior izquierda a la inferior derecha, ¿hay alguna manera de que podamos, inspeccionando sólo la tabla, decidir si $*$ ¿es asociativo o no?

Answer 1

Como la tabla es de dos en dos y la asociatividad implica tres elementos, no es tan fácil de comprobar desde la tabla de Cayley. Podrías forzarla comprobando cada producto de tres elementos. Existe la prueba de asociatividad de Light: http://en.wikipedia.org/wiki/Light%27s_associativity_test

Answer 2

Wikipedia dice

Por lo general, no es posible determinar si una operación es asociativa o no simplemente echando un vistazo a su tabla de Cayley. [...] Sin embargo, Prueba de asociatividad de la luz puede determinar la asociatividad con menos esfuerzo que la fuerza bruta.