El $n$th derivado de la $\frac{1}{5x^5 + 1}$ $x=0$ $0$ todos los $n$ que no es un múltiplo de a $5$?

Question

¿Cómo puedo mostrar esto? Esto es parte de una tarea asignada por el que voy a encontrar la expansión en Series de Taylor de $f(x) = 1 / (5x^5 + 1)$$0$. He notado por el estudio de la $n$th derivados de esta función que para $n$ no es un múltiplo de a $5$, la derivada se evalúa a $0$.

Creo que esto es útil, pero ¿cómo puedo demostrarlo? Yo creo que puede estar relacionado con el hecho de que extraño derivados de o incluso funciones en$x=0$$0$. Hay un teorema de la función que es $1/(5x^5 + 1)$ que dice sus derivados evaluar a$0$$0$?

Saludos!

Answer 1

Vamos $$f(x) = \frac{1}{5x^5+1}$$ $$g(x) = \frac{1}{x+1}$$ de modo que $f(x)=g(5x^5)$. Debido a nuestro conocimiento de la serie geométrica, sabemos que (al $\vert x \vert < 1$) $$g(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n = 1-x+x^2-x^3+...$$ y así $$f(x) = g(5x^5) = 1-5x^5+25x^{10}-125x^{15}+...$$ Así, podemos ver que siempre que $n=5k$, tenemos $$f^{(n)}(0) = n!\cdot 5^kx^n$$ y siempre $n$ no es un múltiplo de a$5$,$f^{(n)}(0) = 0$.

Answer 2

La función sólo depende de $x^5$, por lo que su serie debe ser algo parecido a $a_0+a_1x^5+a_2x^{10}+...$, lo que significa que están a la derecha.

De hecho, basta con sustituir $5x^5$ $y$ y hacer la serie en $y$ (esto es fácil), luego cambiar de nuevo.

Answer 3

Podemos escribir $$ f(x)=\frac{1}{1-(-\sqrt[5]5x)^5}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^{5n} 5^nx^{5n} $$ por la serie geométrica para $|x|<1/\sqrt[5]5$. En particular, los coeficientes de la serie se $f^{(n)}(0)/n!$ $f^{(n)}(0)$ es siempre un múltiplo de $5$ para todo n.