Tengo experiencia en álgebra abstracta (hasta la teoría de Galois), análisis real (baby Rudin, excepto la integral de medidas) y teoría de la probabilidad hasta el movimiento browniano (tratamiento no riguroso). ¿Hay alguna dirección sugerida que pueda tomar para empezar a estudiar el cálculo estocástico y las ecuaciones diferenciales estocásticas?
Respuestas
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Sugiero
Para la teoría de las medidas
- Análisis real -Royden
- Teoría de la medida- Halmos.
Para la teoría de la probabilidad, el movimiento browniano y el cálculo estocástico
- "Probabilidad con Martingales" por David Williams.
- "Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones 1-2" William Feller.
- "Diffusions, Markov Processes and Martingales:1-2" por Chris Rogers y David Williams.
- "Introducción a la integración estocástica" por K. L. Chung, R.J. Williams
- "Ecuaciones diferenciales estocásticas: An Introduction with Applications" de Bernt Øksendal.
Es posible que también tenga que aprender algo de Análisis Complejo. Aunque el análisis complejo no es esencial para aprender la teoría de la probabilidad y los procesos estocásticos. Sin embargo, la integración de contornos y las transformadas de Fourier son herramientas indispensables y es también una de las áreas más bellas y útiles de las matemáticas.
Gary S.
Puntos
1
Según mi experiencia, lo mejor es llegar al objetivo lo antes posible para mantener el impulso. Podrías leer a Royden y luego a Billingsley y finalmente empezar con el cálculo estocástico. Pero, personalmente, probablemente me quedaría sin fuerzas en poco tiempo.
Le recomiendo que lea
El libro de Jeff Rosenthal Un primer vistazo a la probabilidad rigurosa .
Tiene 200 páginas. Está explicado con mucha claridad (el bebé Rudin es todo lo que necesitas). Desarrolla toda la teoría de la medida que necesitas en un contexto de probabilidad. Tiene un montón de ejercicios fáciles que te hacen confiar en que entiendes los conceptos básicos. La mitad de ellos tienen soluciones ¡!
El último capítulo abre el apetito por el cálculo estocástico y ofrece sugerencias de lectura.
Old John
Puntos
16308
Hay que dar un ejemplo concreto. Los experimentos se diseñan para no depender de lo que se intenta medir.
Su ejemplo de la velocidad de la luz no es bueno. ¿No estaba toda la comunidad científica en apuros porque neutrinos superlumínicos ¿se supone que se han medido? ¿Hasta que se descubrió que había un mal funcionamiento en un instrumento?
En cualquier caso, las teorías no se demuestran con los datos, sólo se validan, es decir, se registran como consistentes con los datos. Si el experimento con los neutrinos hubiera sido correcto y otro experimento lo confirmara, la teoría habría tenido que cambiar.
Daniel Serodio
Puntos
1328
Sugeriría tomar primero un curso y/o conseguir un libro sobre teoría de la probabilidad, en vista de la teoría de la medida. Es útil haber estudiado primero la teoría de la medida, pero no es necesario.
Algunas ideas de manual, pero en ningún caso una lista exhaustiva:
- Durrett: Probabilidad: Teoría y ejemplos . He seguido una clase utilizando este libro, se puede encontrar una edición anterior en línea creo
- Billingsley: Probabilidad y medida
- Tripa: Probabilidad: Un curso de postgrado
No he trabajado con los 3 últimos sino que sólo he consultado por referencias. Quizás nuestro usuario más experimentado pueda opinar mejor sobre el asunto.
Una vez hecho esto, puedes tomar una clase de cálculo estocástico en general. Eso debería explorar la construcción del movimiento browniano, la integral de Ito, algunas ecuaciones diferenciales estocásticas y una continuación de las martingalas que habrás empezado en el curso 1. Algunos libros son
- Shreve, y también Steele tienen libros con cierto énfasis financiero
- Karatzas y Shreve Movimiento browniano y cálculo estocástico ha existido un tiempo pero podría ser duro para una primera clase
A continuación, puede tomar clases más avanzadas sobre temas específicos, como las ecuaciones diferenciales estocásticas. Un libro que me viene a la mente es Oksendal's
