Un problema acerca de la generalización de la ecuación de Bezout para toda funciones

Question

Deje $f_1,f_2,\ldots, f_n$ $n$ toda funciones, y no tienen nada de común cero como un todo (no pares), entonces podemos afirmar que no existe $n$ toda funciones de $g_1,g_2,\ldots,g_n$,de tal manera que $F=f_1g_1+f_2g_2+\cdots+f_ng_n$ es cero gratis? Sabemos que si $f_1,\ldots,f_n$ son conocidos por ser polinomios, la conclusión se deduce de la ecuación de Bezout y la inducción. Pero las cosas se complican cuando infinita de productos de participar.

(La formulación original de este problema es: Cada finitely generado ideal en el anillo de la totalidad de las funciones debe ser lo principal, que evidentemente puede ser reducido al problema de arriba.)

Answer 1

Este fue demostrado en

O. Helmer, "Divisibilidad de las propiedades de la integral de funciones", Duque de Matemáticas. J. 6(1940), 345-356.

Observe que el resultado se mantiene para el anillo de holomorphic funciones sobre cualquier abierto conectado subconjunto de $\mathbb C$. Ver el libro "temas Clásicos en función compleja teoría" por R. Remmert (GTM 172) para los detalles y la historia.

Answer 2

Una prueba de que el hecho de que el anillo de holomorphic funciones conectado a un subconjunto abierto del plano complejo es un Bezout de dominio se puede encontrar en $\S 5.3$ de mi álgebra conmutativa notas. La prueba utiliza alguna norma de teoremas en el análisis complejo: Factorización de Weierstrass y Mittag-Leffler. Si recuerdo correctamente, el debate está tomado de Rudin del Real y el Análisis Complejo.