Encontrar todos los números primos $p$ que $\frac{2^{p-1}-1}p$ es un cuadrado perfecto

Question

Encontrar todos los números primos p para los cuales el cociente $\frac{2^{p-1}-1}p$ es un cuadrado perfecto.

Se trata de un problema de teoría de números. Adivinando he encontrado el valor de $p$ es de 3. Pero, ¿cómo puedo demostrarlo, y cómo me encontré con el otro de los números primos?

Answer 1

Poner $p = 2q+1$, entonces la expresión es $\dfrac{4^q-1}{2q+1} = \dfrac{(2^q-1)(2^q+1)}{2q+1}$.

Ahora, desde la $2^q-1$ $2^q+1$ co prime, uno de ellos debe ser un cuadrado perfecto. Deje $(2^q-1)(2^q+1)=pm^2$. A continuación dos casos, a saber, que :

1) $2^q-1 = px^2,2^q+1 = y^2$

2) $2^q-1 = x^2,2^q+1 = py^2$

Para el primer caso, tenga en cuenta que $(y-1)(y+1) = 2^q \implies y+1=2^m,y-1=2^n$, lo que da $2^m-2^n=2$, dando $m=2,n=1$. Esto da el caso de $q=3$$p=7$.

Un análisis similar para el segundo caso da $p=3$.

Answer 2

Con $p=2q+1$, de tal manera que $q\ge1$: $$\frac{2^{p-1}-1}p=\frac{2^{2q}-1}p=\frac{(2^q+1)(2^q-1)}p$$ Tenga en cuenta que $\gcd(2^q+1,2^q-1)=1$. Esto significa que los dos términos en el numerador no tienen factores primos comunes y $p$ debe dividir exactamente uno de ellos, dejando a los otros a ser un cuadrado perfecto.

Pero por Mihăilescu del teorema, $2^q+1=m^2$ tiene sólo la solución de $q=3$ $2^q-1=m^2$ tiene sólo la solución de $q=1$. Por lo tanto, $\frac{2^{p-1}-1}p$ sólo puede ser un cuadrado perfecto para $p=3,7$, tanto de los números primos, y ciertamente lo son. $$\frac{2^{3-1}-1}3=1^2,\ \frac{2^{7-1}-1}7=3^2$$