Mi duda es simple. Tengo algunas de las posibles bases para la categoría de teoría. Si estoy haciendo categoría con NBG como una fundación, y si yo defino el Gato como la categoría de todas las categorías pequeñas que tengo en la conclusión de que el Gato es una clase adecuada. Mi pregunta es: En MacLane del libro, dar un fundamento a la categoría con ZFC y suponiendo la existencia de un universo $U$ (uno) donde los elementos de $U$ son llamados pequeños, y define todas las categorías en términos de $U$, en particular, he a $Cat_{small}$ la categoría de todas las categorías pequeñas, pero en este caso, no estoy hablando de la misma cosa que en NBG? Es $Cat$ un conjunto en la definición de MacLane?
Respuesta
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jmans
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No, $Cat$ no es una categoría pequeña en Mac Lane definición. Los objetos de $Cat$ son todos los elementos en $U$, el universo. Por lo tanto $ob(Cat)=U$, que es un conjunto adecuado. Cada categoría a pesar de que se requiere a nivel local pequeño, lo que significa que cada hom conjunto es en realidad un conjunto, es decir, un elemento de $U$.
Cabe señalar que a menudo es conveniente tener un mayor jerarquía de los universos. La lógica de tratamiento de que fue hecho por Grothendieck, y, si recuerdo correctamente, una prueba de que Grothendieck universos son consistentes con ZF(C).
