Otro problema de la olimpiada

Question

Este problema es un problema en la última fase de selección de las olimpiadas de matemáticas en mi país.

Si $\alpha, \beta,\gamma$ son ángulos $\in[0,\frac\pi2]$ tal que $\sin^2(\alpha)+\sin^2(\beta)+\sin^2(\gamma)=1$.Minimizar $\cos(\alpha)+\cos(\beta)+\cos(\gamma)$

Empecé por $$\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)=2$$ Entonces, ¿cómo se puede reducir? Según Wolfram Alpha, el anwer es $2$ $(0,1,1)$ y permutaciones. Sólo ajustar el valor deseado no ayuda, ¿qué puedo hacer entonces?

Otro pensamiento adicional sobre el problema es que, si tomamos las soluciones por Wolfram como verdadero, esto sugiere que nos desigualdades, como las $AM\ge GM$ es muy poco probable que ayudar.

Edición principal

Podemos demostrar que para cada $a \in [0,1]$ $$a^2\le a$$ A continuación, utilizamos tres veces y mostrar que podemos lograr la igualdad. Es esto una prueba?

Answer 1

Deje $f(t) = \sqrt{1 - t}$. El problema es minimizar $f(a)+f(b)+f(c)$ al$a,b,c \in [0,1]$$a+b+c=1$. La gráfica de $f(t)$ es cóncava, un pedazo de la mitad superior de la parábola $y^2 = 1-x$. Como para cualquier función cóncava, el máximo se alcanza cuando $a=b=c$ y el mínimo se alcanza cuando $a,b,c$ son todos (o todos excepto uno de ellos, si no todo es posible] igual a $0$ o $1$, lo que sucede en las permutaciones de $(1,0,0)$.

La prueba en la edición es correcta, pero limitado a los casos en los que el valor de $(a+b+c)$ es consistente con todos los valores en los extremos del intervalo. Es el principio de que una función es cóncava $\geq$ la función lineal entre dos de los puntos de su gráfica. En esta aplicación, la función es $g(t)=\sqrt{t}$, y lo mismo se podría haber hecho directamente por $f(t)$.