Demostrar la desigualdad: $\sum\frac{x^3}{2x^2+y^2}\ge\frac{x+y+z}{3}$

Question

Que $x, y, z>0$. Demostrar que: $$\frac{x^3}{2x^2+y^2}+\frac{y^3}{2y^2+z^2}+\frac{z^3}{2z^2+x^2}\ge\frac{x+y+z}{3}$ $

Answer 1

Tengo una dirección que puede ser fructífera, pero no en todos los casos. La reescritura de la desigualdad como: $$ \frac{x^3}{2x^2+y^2}-\frac{x}{3}+\frac{y^3}{2y^2+z^2}-\frac{y}{3}+\frac{z^3}{2z^2+x^2}-\frac{z}{3}\ge0 $$

Deje $f(t)=\frac{1-t^2}{2+t^2}$, entonces la desigualdad es equivalente a: $xf(a)+yf(b)+zf(c)\ge0$ donde$a=y/x, b=z/y $$c=x/z$.

Caso 1. Suponga que $a,b,c \in (0,2]$. Tenga en cuenta que $f(t)\ge \frac{1-t}{2}$ por cada $t \in (0,2]$. Luego tenemos a $$xf(a)+yf(b)+zf(c) \ge \frac{x}{2}(1-\frac{y}{x})+\frac{y}{2}(1-\frac{z}{y})+\frac{z}{2}(1-\frac{x}{z})=0$$

El caso 1 es resuelto.

Caso 2 $x\ge y\ge z$ $x\ge 2z$ queda resuelto.

Caso 3 $z\ge y\ge x$ $z\ge 2y$ O $y\ge 2x$ queda resuelto.