Resolución de una ecuación diferencial $x y^2 y' = x+1$

Question

Me piden que resuelva la siguiente ecuación diferencial:

$$ x y^2 y' = x+1 $$

Mi proceso fue

$$ \begin{align*} x y^2 y' &= x+1\\ xy^2 \frac{dy}{dx} &= x+1\\ y^2 dy &= \frac{x+1}{x} dx\\ \int y^2 dy &= \int \frac{x+1}{x} dx\\ \int y^2 dy &= \int dx + \int \frac{1}{x} dx\\ \frac{y^3}{3} &= x + \ln |x| + C\\ y &= \sqrt[3]{3 \left( x + \ln |x| + C \right)} \end{align*} $$

pero cuando estaba comprobando mi resultado en Wolfram Me he dado cuenta de que se ha dado de una manera diferente.

¿Es mi resultado incorrecto? ¿Qué ha hecho que los resultados sean diferentes? ¿Es el signo del valor absoluto del $\ln$ ?

Gracias.

Answer 1

Así, todo número real tiene tres raíces cúbicas: una real y dos complejas. Las raíces cúbicas de 1, por ejemplo, son $1, -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ y $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ . Al tomar la raíz cúbica para resolver $y$ En el caso de WolframAlpha, sólo has tenido en cuenta la raíz cúbica real (lo que está muy bien si sólo te interesan las funciones de valor real); WolframAlpha era más general y daba soluciones para las tres raíces cúbicas. Algo así como cuando tienes $y^2 = x$ Esto da dos soluciones para $y$ : $y = \sqrt{x}$ et $y = -\sqrt{x}$ .

Además, con respecto al valor absoluto, tanto $\ln(x)$ et $\ln(|x|)$ son antiderivadas válidas de $\frac{1}{x}$ Así que estás en lo cierto.