Capítulo V de la Teoría Geométrica de Funciones de una Variable Compleja por Goluzin contiene mucho de lo que se conoce sobre el tema. Entre los resultados obtenidos después de que el libro fue escrito, lo más notable es el trabajo de Él y Schramm en Koebe del Kreisnormierungsproblem se indica a continuación.
Conjetura. Para cada dominio de $\Omega\subset \mathbb C$ hay un mapa de conformación de $\Omega$ a un dominio $\Omega'\subset \mathbb C$ todos de cuyo límite componentes son círculos o puntos.
- Simplemente conectado a los dominios de la anterior es la definición de la integral de asignación teorema.
- Para finitely conectado dominios se probó en 1908 por Koebe. (Es más fácil la prueba se da en Goluzin del libro).
- Para los dominios con countably muchos relacionados componentes del complemento fue demostrado en 1993 por Él y Schramm. El mapa es único hasta una transformación de Möbius. (Nota: de Schramm Obras Seleccionadas se encuentran en el acceso abierto, a pesar de que no incluyen todo lo que él hizo en Kreisnormierungsproblem).
- En todos los casos la conjetura sigue abierto. Es conocido que la singularidad falla general de los dominios con una cantidad no numerable de componentes conectados.
De vuelta a la clásica resultados, presentados en Goluzin del libro (con notas históricas en los que no puedo reproducir aquí):
Para cada doblemente conectado el dominio $\Omega\subset \mathbb C$ hay un mapa de conformación de $\Omega$ en una circular del anillo de $\{z: r<|z|<R\}$. La relación de $R/r$ está determinado por $\Omega$.
Lo anterior fue discutido varias veces aquí y en MathOverflow: uno, dos, tres.
Para cada dominio de $\Omega\subset \mathbb C$ hay un mapa de conformación de $\Omega$ a un dominio $\Omega'\subset \mathbb C$ de manera tal que cada componente conectado de $\mathbb C\setminus \Omega'$ es una línea horizontal de un segmento o un punto.
Para finitely conectado dominios no es una singularidad de la declaración.
Para cada dominio de $\Omega\subset \mathbb C$ y cada una de las $\varphi\in [0,\pi/2]$ hay un mapa de conformación de $\Omega$ a un dominio $\Omega'\subset \mathbb C$ de manera tal que cada componente conectado de $\mathbb C\setminus \Omega'$ es un arco de espiral logarítmica con cancha $\varphi$.
Los casos especiales $\varphi=0,\pi/2$ corresponden a radial de las ranuras y los arcos de círculos concéntricos. Como en el anterior, algunos de los arcos puede degenerar a los puntos. Para finitely conectado dominios no es una singularidad de la declaración.
