Para $f$ periódico, $g\to 0$ la integral de $fg$ converge (bajo algunas condiciones más)

Question

Deje $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser funciones continuas tales que:

• $f$ es periódica, con un número finito de ceros en un período de
• El valor promedio de $f$ en un período de es $0$
• $g$ es monótona decreciente y $\lim_{x\to\infty}g(x)=0$

Demostrar que $$\int_c^{\infty}f(x)g(x)\, dx<\infty$$ for any finite $c$, donde la integral se toma en el Reimann sentido (en particular, sólo necesita ser condicionalmente convergente).

Nota: Puede que el "finito de ceros" requisito suprimirse o sustituirse por algo más débil? De verdad es necesario para $g$ ser continua?

Answer 1

[Versión Original] no puede ser del todo correcto, porque podríamos tener una función de a $\sin x$ y el otro a ser $1/x$ donde $\sin x>0$ $1/x^2$ donde $\sin x<0$.

Edit: con los ajustes adecuados a las hipótesis, una verdadera versión me podía imaginar que iba a ser una continua analógica de la generalización de la "alternancia de la disminución de la" convergencia: dado $a_n$ positivo y monótona decreciente a $0$, y dado $b_n$ con las sumas parciales $b_1+\ldots b_n$ delimitada, de suma por partes espectáculos $\sum a_n b_n$ converge.

Answer 2

Este es el esqueleto de la prueba que yo tenía en mente.

Suponga $f\not\equiv 0$. Deje $\tau$ ser el periodo mínimo de $f$. Partición de $\mathbb{R}\mod\tau\mathbb{Z}$ por los puntos de $t_i$, que son los ceros de $f$ a que $f$ cambia de signo. Desde $f$ tiene un número finito de ceros en un período, también hay un número finito de signo-cambio de ceros. Explícitamente, el dominio se divide en $$\bigcup\left([t_i,t_{i+1})+\tau\mathbb{Z}\right)$$ Por lo $f$ suplentes signo en estos intervalos. Forma un límite superior de la integral mediante la estimación de la contribución positiva de las regiones como $$g(t_i)\int_{t_i}^{t_{i+1}}f(x)\,dx$$ and the contribution from negative regions as $$g(t_{i+1})\int_{t_i}^{t_{i+1}}f(x)\,dx$$

Ahora que las cosas han sido aproximados por el paso de las funciones, estamos de vuelta para el caso discreto y argumentos como los de pablo editar deben aplicar.