Invertibility de $U+I$ donde $U$ proviene de un SVD $M=USV'$

Question

Suponga que $U$ es un auténtico $2 \times 2$ matriz de derivadas de una singluar la descomposición de valor $$ M = USV' $$

Como parte de una más grande de cálculo, se sugiere en este documento (véase el texto a la derecha debajo de la ecuación (44)) que podemos en este caso, utilizar las propiedades de $U$ a crear lo que llaman orthomorphic transformación, es decir, una matriz de $X$ tal que $$ X = (I_2 + U)^{-1}(I_2-U) $$ y $$ U = (I+X)^{-1}(I-X) $$ Ahora, aquí está mi problema: me parece que la matriz $I_2 + U$ casi nunca es invertible. Si $U$ es una verdadera matriz, a continuación, por la naturaleza de la enfermedad vesicular porcina es típicamente una matriz de rotación con $U_{11}=-U_{22}$. Entonces tenemos $$ |I_2+U| = |U|+U_{11}+U_{22}+1 $$ con $|U| = \pm1$ desde $U$ es ortogonal. Así que en ese caso, cualquier tiempo $|U|=-1$, dicha matriz es singular.

Estoy en lo cierto en que es un poco excepcional caso de que $(I_2+U)$ es de hecho invertible? O me estoy perdiendo algo? Yo estaría muy agradecido si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre este problema.

Answer 1

$I+U$ es singular si y sólo si $-1$ es un autovalor de a $U$. Así que, tienes razón en que la suma es singular cuando se $\det U=-1$. Como $U$ $2\times2$ real ortogonal de la matriz, tiene un autovalor $-1$ sólo al $\det U=-1$ o $U=-I_2$. Sin embargo, usted puede hacer lo siguiente:

• si $U$ es igual a $-I_2$ o $D=\operatorname{diag}(1,-1)$, reemplace$(U,V^T)$$(I,UV^T)$;
• si $\det U=-1$$U\notin\{-I_2,D\}$, reemplace$(U,V^T)$$(UD,DV^T)$.

En ambos casos, la enfermedad vesicular porcina se conserva y el nuevo $U$ le dará un válido $X$.

Por el camino, cuando $-1$ no es un autovalor de a $U$, la asignación de $U\mapsto(I+U)^{-1}(I-U)$ es más comúnmente conocido como el de Cayley de transformación.