Con respecto a los niveles

Question

Estoy tratando de trabajar a través de las matemáticas derivación presentados en un documento sobre el gas que fluye a través de la roca debido a un diferencial de presión a través de la longitud de la roca. Este es mi primer post así que me perdone si me voy sobre el camino equivocado. Mi pregunta es acerca de cómo realizar la matemática entre dos pasos de la derivación en el papel, pero creo que los pasos que conducen a las medidas en cuestión son necesarias, puesto que una idea de lo que las presiones están en relación con el sistema que se está evaluando es útil en las matemáticas de la derivación.

Para empezar, el volumétrica isotérmica de la tasa de flujo de nitrógeno, el cual se comporta como un gas ideal, de un tanque de almacenamiento a presión $P_0$ es:

\begin{equation} q_o(t)=\frac{M}{\rho_o(t)}\frac{-dn}{dt}=\frac{-MV_t}{\rho_o(t)RT}\frac{dP_o}{dt} \end{equation}

Pero la densidad está dada por: $$\rho_o(t)=\frac{MP_o(t)}{RT}$$

Por lo tanto, $$q_o(t)=\frac{-V_t}{P_o(t)}\frac{dP_o}{dt}$$

Supongamos por el momento que en cualquier instante de tiempo, la masa de la velocidad a lo largo de la longitud de la base es constante (esto no es rigurosamente cierto). Como el nitrógeno fluye a través de un núcleo de roca, que se expande, que

$$q(x,t)=\frac{q_o(t)P_o(t)}{p(x,t)}=\frac{-V_t}{p(x,t)}\frac{dP_o}{dt}$$

Klinkenberg la relación de permeabilidad a los gases, que se expresa como una función de punto de tanto tiempo y la posición, es:

$$k(x,t)=k_l\left(1+\frac{b}{p(x,t)+Pa}\right)$$

Darcy la relación de flujo de fluidos en un medio poroso en 1D es:

$$q = \frac{-kA}{\mu}\frac{dP}{dx}$$

La sustitución de nuestro volumétrica relación y Klinkenberg de la relación en la ecuación de Darcy para unidimensional de flujo de la producción:

$$\frac{-V_tP'_o(t)}{p(x,t)}=\frac{-k_lA(1+b/p(x,t))}{\mu}\frac{\partial{p(x,t)}}{\partial{x}}$$

Si esta ecuación se integra con respecto a la longitud y se divide por $1/2(P_l-P_o)$ se convierte en:

$$\frac{-2V_t\mu P'_o(t)L}{k_lA(P_o-P_l)}=P_l+P_o+2b$$

Las presiones en todas las ecuaciones anteriores se han presión absoluta, expresada en atmósferas y la permeabilidad en darcies. Si ahora cambiar a la presión manométrica (psig), y se expresa de la permeabilidad en millidarcies, la ecuación se convierte en (desde $P_l = 0$ psig):

$$\frac{-V_tP'_o(t)}{P_o(t)}=\frac{k_lA}{2000*14.696 \mu L}(P_o(t)+2P_a+2b)$$

conjunto

$$m=\frac{k_lA}{29,390 \mu L}$$ and $$i=2(P_a+b)m$$

tenemos una ecuación de una línea recta con intersección $i$ y la pendiente $m$:

$$\frac{-V_tP'_o(t)}{P_o(t)}=i+mP_o(t)$$

Ahora aquí está la parte que me gustaría matemáticas explicación. El documento dice que la ecuación se puede reorganizar e integrar con respecto al tiempo de dar:

$$\frac{V_t}{i/m} \ln \frac{P_1(P_2+i/m)}{P_2(P_1+i/m)}=m(t_2-t_1)$$

Exactamente cómo fue hecho este paso? Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Reordenar la ecuación para leer

$$-V_t\frac{P_0'}{P_0^2} - \frac{i}{P_0} = m$$

Luego reescribir como

$$ \frac{d}{dt} \frac{1}{P_0} - \frac{i}{V_t} \frac{1}{P_0} = \frac{m}{V_t}$$

Esto puede expresarse nuevamente utilizando un factor de integración:

$$\frac{d}{dt} \left [e^{-i t/V_t} \frac{1}{P_0} \right ] = \frac{m}{V_t} \, e^{-i t/V_t}$$

Integrando, obtenemos

$$\frac{1}{P_0(t)} = C \, e^{i t/V_t} - \frac{m}{i}$$

donde $C$ es una constante de integración. Reordenando y tomando registros, obtenemos

$$\log{\left (\frac{1}{P_0(t)}+\frac{m}{i} \right )} - \frac{i}{V_t} t = \log{C}$$

Esto significa que, para tiempos de $t=t_1$ y $t=t_2$ tenemos

$$\log{\left (\frac{1}{P_0(t_1)}+\frac{m}{i} \right )} - \frac{i}{V_t} t_1 = \log{\left (\frac{1}{P_0(t_2)}+\frac{m}{i} \right )} - \frac{i}{V_t} t_2$$

Conjunto de $P_1 = P_0(t_1)$ etc. y el resto es álgebra.

Answer 2

@Ron--tendré que estudiar su respuesta un poco más. Realmente aprecio su ayuda.

Después de reordenar la ecuación para $$\frac{-V_t}{P_o(t)(P_o(t)+i/m)}\frac{dP_o}{dt}=m$ $

Terminé usando la idea de fracciones parciales; ajuste del $V_t = C$, $(i/m) =D$% y $P_o(t)=x$ para que tenga $$\frac{-C}{x(x+D)}dx=mdt$$ Rearraging the LHS $$\frac{-C}{x(x+D)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+D}$$ Making $$-C=A(x+D)+B(x)$$ If $x=0$, then $A=-C/D$

Si $x=-D$, entonces el $B=C/D$

Por lo tanto tenemos %#% $ #%

$$\frac{-C}{x(x+D)}=\frac{-C/D}{x}+\frac{C/D}{x+D}$$

Después de integrar tenemos $$=\frac{C}{D} \left( \frac{-1}{x}+\frac{1}{x+D} \right)$$$\frac{C}{D} \left [\ln(x_1)-\ln(x_2)+\ln(x_2+D)-\ln(x_1+D) \right]$% $ $ From rules of natural logs we can say $

Y luego sustituya nuestras variables originales...