Vamos a fijar un campo finito F y considerar la posibilidad de abelian variedades de dimensión g sobre F. Podemos decir cuántos isogeny clases hay? Es claro que hay más de una isogeny clase? Para g=1, y algunos fijos F con característica no 2 o 3, que probablemente podría escribir todas las ecuaciones de Weierstrass y contar isogeny clases por la fuerza bruta, pero es que hay más limpia de hacerlo?
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kevtrout
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Sea Fq ser un campo finito. Dos curvas elípticas E1 y E2 , definida sobre Fq son Fp-racionalmente isogenous fib # E1(Fq) = # E2(Fp).
(==>) Vamos a \varphi ser un isogeny, tome l un prime que es primo para q*(grado de \varphi). Luego \varphi induce un Frobenius-equivariant isomorfismo en la l-ádico Tate módulos, por lo que la característica de los polinomios de Frobenius de acuerdo. Desde
E(Fq) = q+1 - traza(Frob),
esto implica que las dos curvas elípticas tienen el mismo número de puntos.
(<==) De forma similar, si las curvas elípticas tienen el mismo número de puntos racionales, sus Frobenius trazasq son los mismos, por lo que su característica polinomios de Frobenius son tanto T2 - q T + q2. Se sigue de Honda-Tate teoría de que tienen el mismo número de puntos.
Ya que se sabe exactamente lo que las posibilidades de #E(Fp) en términos de p ... esta la Hasse-Deuring-Waterhouse teorema -- parece que no se sabe exactamente cuántos Fp-racional isogeny clases hay. Por ejemplo, cuando p = p es primo, el teorema afirma que cualquier entero N de satisfacer los límites Weil
p+1 - 2\sqrt{p} < N < p+1 + 2\sqrt{p}
se produce como #E(F,p) para algunos E/Fp, por lo que parece que no son exactamente
1 + 2*piso(2\sqrt{p})
Fp-racional isogeny clases.
Para abelian variedades de dimensión g, para determinar la Frobenius polinomio y por lo tanto la Fp-racional isogeny clase, usted necesita saber no sólo #A(Fp) pero #A(Fqi) para 1 <= i <= g.
La respuesta para isogeny sobre el algebraicas cierre es diferente, hágamelo saber si usted está interesado en eso.
Bob Somers
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He aquí una cuestión sobre la que no ha sido mucho el trabajo. Si usted realmente necesita una respuesta a su pregunta por alguna otra razón y que siga esto, me interesaría ver a dónde va.
Deje $X$ ser algún espacio de moduli de abelian variedades (así, por $g>1$, habrá extra estructura más allá de lo que usted menciona, por ejemplo, también vamos a estar considerando una polarización de algún tipo). En algunos casos (por ejemplo, si la polarización es el principal) entonces X será un Shimura variedad, así que va a estar relacionado con un cociente de una reductora de grupo (un simpléctica grupo, por ejemplo). En el $g=1$ caso estamos hablando de modular las curvas. Eichler calcula el Hasse-Weil zeta función de modular la curva en 1954, y una manera de expresar que la declaración en un más bajo nivel de forma es que se las arregló para calcular el tamaño de $X(k)$ para cualquier campo finito $k$ (al menos donde $X$ tiene buena reducción). Sus resultados fueron generalizadas por Shimura. Estos chicos se utiliza algo llamado la "congruencia relación", que se reducía a la computación en la reducción de algunos modular curvas de mod $p$ donde $p$ es un primer dividiendo el nivel.
A continuación, Ihara llegó y se hizo el cálculo de una manera diferente. Calculó $X(k)$ para cualquier campo finito $k$ pero esta vez usando la fórmula de seguimiento. Oh--debo decir cuál era la respuesta: resulta que el Hasse-Weil zeta función de modular la curva de $X$ está relacionado con $L$-funciones de las formas modulares.
La razón por la que menciono todo esto es que por la década de 1970 Langlands argumentó que este resultado fue la punta del iceberg, y la Hasse-Weil zeta función de una gran clase de Shimura variedades deben ser relacionados a $L$-funciones de automorphic formas en que alguna gran generalidad. Langlands papel es http://www.ams.org/online_bks/pspum332/pspum332-ptIV-5.pdf y es algo incomprensible. En él se hace una conjetura que, en cierto sentido, se reduce a una fórmula para $X(k)$ $X$ ejecución a través de una gran clase de Shimura variedades. Pero si miramos el vínculo y, a continuación, retire el último bit (el nombre del archivo pdf) que encontrarás en la web de las páginas de un libro ("Corvallis") y el resto de los artículos justo antes de Langlands oferta de más abajo-a-tierra explicaciones de casos especiales de cómo calcular estos números: la conjetura fórmulas de Langlands son, en gran medida establecidas para determinados Hilbert modular variedades, por ejemplo.
Entonces, ¿por qué menciono todo esto? Bueno, la razón es que si realmente nos fijamos en las pruebas de estas contando fórmulas, entonces, una vez que su cabeza deja de doler, se puede ver que, de hecho, la estrategia para el recuento de estos puntos es precisamente lo que usted está haciendo alusión a las anteriores: se puede dividir la $X(k)$ en isogeny clases, y luego, cuenta el tamaño de cada isogeny clase, y luego sumarlos. Y aunque la conjetura de Langlands no ha sido probado en su totalidad, la estrategia que sigue se aplica y da una muy poderosa manejar en la pregunta que te estás preguntando.
Así, por ejemplo, si se va a solicitar la Langlands' ideas (o, más concretamente, las exposiciones de ellos en los documentos anteriores) para el caso de curvas elípticas sobre $Q$ vería un hormigón de la máquina hecha para contar isogeny clases de curvas elípticas sobre campos finitos. Como ya he dicho, cualquier persona que le hizo esto podría aprender mucho más acerca de los métodos de estos papeles que me entendemos en la actualidad y que se podría explicar lo que sucede.
Jim Milne ha estado leyendo este foro hace poco, y él es uno de los expertos en esta área, por lo que probablemente va a ser capaz de dar una respuesta mejor, en el sentido de que él sería capaz de dar la sensación a lo que pasaría si fueran a seguir a través de Langlands' contar programa en el simpléctica caso.
Vamos q ser el fin de su campo finito. A continuación, la categoría de abelian variedades de más de $\mathbb{F}_q$ hasta isogeny es semisimple - cualquier objeto es isogenous a un producto simple en esencia, de manera única, por lo que este reduce su pregunta a uno acerca de objetos simples.
Por simple abelian variedades de más de $\mathbb{F}_q$, no es el de Tate-Honda clasificación que establece que el isogeny las clases son en bijective correspondencia con Weil $q$-enteros (números algebraicos que tienen valor absoluto $q^{1/2}$ en todo el complejo incrustaciones) hasta Galois conjugacy.
Esto lo aprendí de Milne "Puntos de Shimura variedades de mod $p$" (uno de los artículos de la Corvallis procedimientos que Kevin mencionado), que tiene una bonita y bastante elemental discusión en la sección 5.
Chris Farmer
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Para cualquier género, siempre y cuando no ismorphic curvas, no isomorfo Abelian variedad.
Por género, 2, usted tiene la Honda-Tate teorema, dando las clases de Abelian variedades (y no es un trabajo reciente de Howe, Maisner, Nart y Ritzenthaler diciendo que ellos son p.p.una.vs)
- Fro género > 2, creo que la clasificación está a la vanguardia de la investigación actual.
Rog
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Tal vez este artículo de Oort y Chai contiene informaciones.
