Límite bidimensional indeterminado

Question

Estoy bastante seguro de que

\begin{equation} \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^4y}{x^2 + y^2} = 0, \end{equation}

pero estoy teniendo algunos problemas para probarlo.

La única técnica que conozco que puede utilizarse para mostrar los límites indeterminados de $\geq 2$ las variables existen es el Teorema del Apretón. He intentado aplicarlo aquí (asumiendo $|y| < 1$ y limitando la cantidad de interés por $\pm\frac{x^4y}{x^2 + y^2}$ ), pero no conseguí nada.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Desde $|xy|\leq \frac{x^2+y^2}{2}$ por el GM-QM desigualdad, simplemente tienes: $$\left|\frac{x^4 y}{x^2+y^2}\right|\leq \frac{1}{2}|x|^3.$$

Answer 2

Utiliza las coordenadas polares: $x = r\cos t$ , $y = r\sin t\Rightarrow x^2 + y^2 = r^2$ y $yx^4 = r^5\sin t(\cos t)^4$ . Así que: $yx^4/(x^2 + y^2) = r^3\sin t(\cos t)^4 \to 0$ como $r\to 0$ .

Answer 3

$$ 0\le\left|\frac{x^4y}{x^2 + y^2}\right|= \left|\frac{x^4y}{\|(x,y)\|^2}\right|\le \frac{\|(x,y)\|^5}{\|(x,y)\|^2}= \|(x,y)\|^3. $$

Answer 4

$$ \left|\frac{x^4y}{x^2+y^2}\right| \le \left|\frac{x^4y}{x^2}\right| = \left|x^2y\right| \to 0. $$

Answer 5

La desigualdad básica aquí es $x^2\le x^2+y^2$ de la que se obtiene $$ \frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le 1 $$ con una similar para $y$ . Así que $$ \left|\frac{x^4y}{x^2+y^2}\right|\le|x^3|. $$