Permitir que$x,y,z$ sean números reales no negativos tales que$x+y+z=1$, ¿entonces es verdadero lo siguiente? ps
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Lissome
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Por AM-HM o CS tenemos$$\frac{\dfrac 1{\sqrt{1+xy}}+\dfrac 1{\sqrt{1+yz}}+\dfrac 1{\sqrt{1+zx}}}{3} \geq \frac{3}{\sqrt{1+xy}+\sqrt{1+yz}+\sqrt{1+zx}}$ $
Por lo tanto,$$\dfrac 1{\sqrt{1+xy}}+\dfrac 1{\sqrt{1+yz}}+\dfrac 1{\sqrt{1+zx}} \geq \frac{9}{\sqrt{1+xy}+\sqrt{1+yz}+\sqrt{1+zx}}$ $
Para probar su reclamo, debe mostrar$$\sqrt{1+xy}+\sqrt{1+yz}+\sqrt{1+zx} \leq \sqrt{10}$ $
Por CS$$\left(\sqrt{1+xy}+\sqrt{1+yz}+\sqrt{1+zx} \right)^2 \leq 3 (1+xy+1+yz+1+zx )=9+3(xy+xz+yz)$ $
Finalmente, nuevamente por CS tenemos$$xy+xz+yz \leq x^2+y^2+z^2 \Rightarrow 3\\(xy+xz+yz) \leq x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz) =(x+y+z)^2=1$ $
Combinando las dos últimas desigualdades obtenemos$$\left(\sqrt{1+xy}+\sqrt{1+yz}+\sqrt{1+zx} \right)^2 \leq 10$ $
user121270
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1059
Por la desigualdad entre los armónicos y la aritmética significa que tenemos que $$ \frac{1}{\sqrt{1+xy}}+\frac{1}{\sqrt{1+yz}}+\frac{1}{\sqrt{1+xz}}\ge \frac{9}{\sqrt{1+xy}+\sqrt{1+yz}+\sqrt{1+xz}}. $$ Ahora bien, si hemos de probar que $$ \sqrt{1+xy}+\sqrt{1+yz}+\sqrt{1+xz}\le\sqrt{10} $$ hemos terminado. pero por Cauchy-Schwarz tenemos $$ \sqrt{1+xy}+\sqrt{1+yz}+\sqrt{1+xz}\le\sqrt{3}(3+xy+yz+zx)^{\frac{1}{2}}, $$ tan sólo tenemos que demostrar que $$ xy+yz+zx\le\frac{1}{3}, $$ pero es el mismo para demostrar que $$ x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}. $$ La última desigualdad se puede constatar fácilmente el uso de Cauchy-Schwarz.
Anthony Shaw
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858
Aquí le damos otro enfoque.
Cauchy-Schwarz dice $$\begin{align}
(x+y+z)^2
&\le(x^2+y^2+z^2)(1^2+1^2+1^2)\\
&=3(x^2+y^2+z^2)\tag{1}
\end {Alinee el} por tanto $$, $$\begin{align}
xy+yz+zx
&=\tfrac12\left[(x+y+z)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)\right]\\
&\le\tfrac12\left[(x+y+z)^2-\tfrac13(x+y+z)^2\right]\\
&=\tfrac13(x+y+z)^2\tag{2}
\end {alinee el} $$ entonces $$\begin{align}
\frac1{\sqrt{1+xy}}+\frac1{\sqrt{1+yz}}+\frac1{\sqrt{1+zx}}
&\ge\frac3{\sqrt[\large6]{(1+xy)(1+yz)(1+zx)}}\tag{3}\\[3pt]
&\ge\frac3{\sqrt{\frac13\left[(1+xy)+(1+yz)+(1+zx)\right]}}\tag{4}\\
&=\frac9{\sqrt{9+3(xy+yz+zx)}}\tag{5}\\[3pt]
&\ge\frac9{\sqrt{10}}\tag{6}
\end {Alinee el} $$ explicación:
$(3)$: AM-GM
$(4)$: AM-GM en el denominador dentro de la raíz cuadrada
$(5)$: reagrupación
$(6)$: Aplique $(2)$
