Usted pregunta qué ideas de la teoría de números, si es que hay alguna, pueden aplicarse para facilitar la búsqueda informática exhaustiva de soluciones, independientemente de cualquier tipo de propiedad especial de $f$ ? Buena pregunta, Bruno. Qiaochu Yuan tiene razón y yo daría un paso más para responder negativamente. Pero si usted está dispuesto a ampliar un poco su pregunta de ninguna condición sobre $f(x)$ para permitir $f(x)$ tenga la propiedad de que el mayor número entero de su pendiente sea constante a lo largo de grandes intervalos, entonces hay algo que puedo ofrecerte a partir de mi investigación y que puede que no conozcas. Y si está dispuesto a ampliar un poco su pregunta desde las ideas de la teoría de números hasta las ideas del análisis complejo, entonces quizá podamos hacer aún más. Este último planteamiento lo amplío en la conclusión.
Existe un enfoque general que podemos utilizar para diseñar algoritmos similares a los euclidianos para encontrar soluciones enteras a algunos tipos de ecuaciones. Si sobre un intervalo, $f(x)$ es monótona y su dominio excede su intervalo, entonces podemos acotar el intervalo por tanteo encontrando soluciones enteras para $f^{−1}(x)$ . Y si podemos hacer esto repetidamente, entonces tenemos un algoritmo.
Nuestro objetivo es reducir el intervalo de ensayo-error preservando las soluciones enteras. Cumplimos este objetivo realizando iteraciones sucesivas sobre $f(x)$ con los cuatro pasos siguientes. En primer lugar, redondeamos la pendiente de $f(x)$ al número entero más próximo. Dependiendo de la naturaleza de $f(x)$ y el intervalo, puede que no sea práctico utilizar el redondeo normal; en su lugar, puede que necesitemos redondear hacia arriba o hacia abajo. Por lo tanto, redondeamos la pendiente de $f(x)$ a $[f'(x) + a]$ donde los paréntesis denotan el mayor número entero y $a$ es una constante predeterminada con 0 $≤a<$ 1. A continuación, restamos la ecuación lineal de pendiente entera, $y'=[f'(x) + a]x$ de $y=f(x)$ . Este paso sólo es práctico si $[f'(x) + a]$ es constante en un intervalo grande. A continuación, tomamos la inversa de la diferencia. Repetimos el proceso hasta que el dominio de $x$ es lo suficientemente pequeño para el método de ensayo y error o este método se vuelve poco práctico. Por último, después de encontrar una solución entera, utilizamos la sustitución inversa para encontrar la solución entera de la ecuación original, $y=f(x)$ . Llamamos algoritmo diofantino a un algoritmo que utiliza este método porque funciona eliminando soluciones no enteras de ecuaciones diofantinas. Nuestro método garantiza i. la conservación de todas las soluciones enteras y la no conservación de todas las soluciones no enteras y ii. el dominio de $y-y'$ en cualquier intervalo en el que $[f'(x) + a]$ es constante siempre supera su rango.
Por lo tanto, nuestro algoritmo es práctico para cualquier función sobre cualquier intervalo grande donde $[f'(x) + a]$ es constante. Nuestro algoritmo obviamente funciona para ecuaciones lineales Diofantinas porque su pendiente es constante. Nuestro algoritmo funciona obviamente para ecuaciones tipo Pell de la forma $x^2−ny^2=s$ donde | $s$ | es pequeño porque son asintóticamente lineales. Es menos obvio que podamos diseñar un algoritmo diofantino para la ecuación del círculo, $
