En mi reciente exploraciones Me encontré con la siguiente serie
$$ \vartheta_{4}(0,e^{\alpha \cdot z})=1+2\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}\cdot e^{\alpha \cdot z\cdot k^{2}} ; \alpha \in \mathbb{R}, z \in \mathbb{C} $$
Esta es una de las conocidas funciones/series theta de Jacobi con la peculiaridad de tener la variable $z \in \mathbb{C}$ en un lugar diferente, es decir $e^{\alpha \cdot \mathbf{z} \cdot k^{2}}$ ¡¡!!
La forma habitual de la función theta es
\begin {align*} \vartheta_ {4}(z,e^{ \alpha })=1+2 \sum_ {k=1}^{ \infty } (-1)^{k} \cdot e^{ \alpha \cdot k^{2}} \cos (2kz) ; \end {align*}
pero no en el caso que tengo en las manos. ¿Tiene sentido la fórmula anterior? ¿Dónde están este tipo de series usado o analizado ? (Aparte del conocido caso de
$$\psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n^{2}\pi x}=\frac{1}{2} \left[ \vartheta_{3}(0,e^{-\pi x})-1 \right]$$ utilizado en el contexto de la función zeta de Riemann).
