Dónde se utilizan este tipo de series, $\vartheta_{4}(0,e^{\alpha \cdot z})$ ?

Question

En mi reciente exploraciones Me encontré con la siguiente serie

$$\vartheta_{4}(0,e^{\alpha \cdot z})=1+2\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}\cdot e^{\alpha \cdot z\cdot k^{2}} ; \alpha \in \mathbb{R}, z \in \mathbb{C}$$

Esta es una de las conocidas funciones/series theta de Jacobi con la peculiaridad de tener la variable $z \in \mathbb{C}$ en un lugar diferente, es decir $e^{\alpha \cdot \mathbf{z} \cdot k^{2}}$ ¡¡!!

La forma habitual de la función theta es

\begin {align*} \vartheta_ {4}(z,e^{ \alpha })=1+2 \sum_ {k=1}^{ \infty } (-1)^{k} \cdot e^{ \alpha \cdot k^{2}} \cos (2kz) ; \end {align*}

pero no en el caso que tengo en las manos. ¿Tiene sentido la fórmula anterior? ¿Dónde están este tipo de series usado o analizado ? (Aparte del conocido caso de

$$\psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n^{2}\pi x}=\frac{1}{2} \left[ \vartheta_{3}(0,e^{-\pi x})-1 \right]$$ utilizado en el contexto de la función zeta de Riemann).

Answer 1

He visto esta serie en el libro de Ono "The web of modularity" en el teorema 1.60 en la página 17 donde da la identidad: $$\frac{\eta(z)^2}{\eta(2z)} = \sum_{n= -\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2}$$ donde $q = e^{\pi i z}$ y

$$\eta(z) := q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n).$$ es la función Eta de Dedekind.

Supongo que una de las razones por las que este tipo de cosas podría ser útil es que es muy disperso, y por lo tanto rápido para calcular muchos coeficientes muy rápidamente. Por ejemplo, se podría utilizar para calcular el $q$ -ampliación de la serie Eisenstein $E_4$ utilizando la identidad (ecuación 1.28 en Ono) $$E_4 = \frac{\eta(z)^{16}}{\eta(2z)^8} + 2^8 \frac{\eta(2z)^{16}}{\eta(z)^8}.$$

(Sin embargo, creo que hay formas más rápidas de calcular $E_4$ ?!)