Problema : Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $\mathbb{F}$ y $F,G \in \text{End}(V) $
Demuestra que $F \circ G$ y $G \circ F$ tienen los mismos valores propios $\lambda$
Mi enfoque : Dejemos que $\sigma_F:= \lbrace \lambda_i \in \mathbb{F} \mid \lambda_i \text{ is a Eigenvalue of } F\rbrace $
Por lo tanto, tengo que demostrar que $\sigma_{F \circ G} = \sigma_{ G \circ F} $ y debido a la simetría es suficiente demostrar que por ejemplo $\sigma_{ F \circ G} \subset \sigma_{G \circ F} $
Supongamos que $\lambda$ es un valor propio de $F \circ G$ y $v \in V \setminus \lbrace 0 \rbrace$ el vector propio correspondiente, se deduce que para Caso 1) $G(v) \neq 0$ : $$ F(G(v))=\lambda v \implies (G\circ F)(Gv)=G(F(Gv))=G(\lambda v)=\lambda G(v) \\ \implies G(v) \text{ is a Eigenvector to $ G \circ F $ with Eigenvalue $ \N - Laambda $}$$
Estoy seguro de que la segunda parte es igual de fácil, pero llevo demasiado tiempo lidiando con este problema por mi cuenta sin consultar ayuda, así que supongo que sufro de no ver el bosque por los árboles .
Caso 2) Dejemos que $G(v) = 0$ , $v$ como el anterior se deduce que: $$ F(G(v))=\lambda v = F(0)=0 \implies \lambda =0 \text{ because } v \neq 0 $$ Tengo claro que no puedo utilizar $G(v)= 0$ como un Eigenvector de $G \circ F$ porque $G(v)$ es ahora el vector cero y por lo tanto, por definición, no es un Eigenvector. Por lo tanto, tengo que llegar a una mejor declaración $$\ker (G \circ F) \neq \lbrace 0 \rbrace \iff \lambda =0 \text{ is a Eigenvalue of } G \circ F \tag{*} $$ Ahora tengo varios problemas con la afirmación anterior (*), centrándome en el $\implies$ dirección
¿Puedo utilizar el mismo Vector $v \in V \setminus \lbrace 0 \rbrace $ para esta declaración? No tengo muy claro si puedo hacer esto y por qué, creo que tengo que hacerlo, porque todo lo que sé para este caso es que $G(v)=0 \implies v \in \ker \lbrace G \rbrace $ y aplicando $F$ a ambas partes daría $ F(G(v))=F(0)=0 \implies v \in \ker \lbrace F \circ G \rbrace $ .
Si, por ejemplo, digo que $ k \in \ker (G \circ F ) \neq \lbrace 0 \rbrace $ tal que $k$ es un vector propio de $G \circ F$ con valor propio $\lambda$ se deduce que $$G(F(k))= \lambda k = 0 \implies \lambda =0 $$ que me parece muy artificial (o forzado), además ni siquiera he hecho uso de mi premisa de que $G(v) = 0$ Por lo tanto, el procedimiento anterior debe ser incorrecto.
Por otro lado, si elijo $v \in \ker \lbrace G \circ F\rbrace \neq \lbrace 0 \rbrace $ (lo que no sé si se me permite hacer) se deduce que: $$G(F(v))=\lambda v=0 \implies \lambda =0 $$ que me parece mejor, pero igual de artificial y de nuevo no he hecho uso de la premisa.
