¿Puede una clase de conjugación no trivial en$A_n$ contener elementos$<n$?

Question

En una de las pruebas de simplicidad de$A_n$ ($n\geq 5$), un hecho utilizado es el siguiente:

No hay clase de conjugación (no identidad) en$A_n$ que contenga elementos$<n$.

Inicialmente estaba usando la simplicidad de$A_n$; pero ese era el objetivo detrás del uso de este hecho. ¿Alguna pista para probar este hecho?

Además, ¿siempre hay una clase de conjugacy en$A_n$ con exactamente$n$ elementos?

Answer 1

El teorema es falso, por ejemplo. para $n=3$, por lo que vamos a considerar sólo $n \geq 5$.

Voy a hacer un uso intensivo de la siguiente hecho acerca de las clases conjugacy en $A_n$:

Conjugacy clases son de la forma "todo de un determinado tipo de ciclo", o "la mitad de las cosas de un determinado tipo de ciclo"; esto último ocurre si el tipo de ciclo es de todos los impares y todas diferentes.

En el primer caso, estamos inmediatamente se hace, porque hay, al menos, $n$ cosas de cualquier tipo de ciclo. De hecho, vamos a $A_n$ actúan en el conjunto $\{1, 2, \dots, n \}$. A continuación, variando sólo la imagen del elemento $1$, obtenemos $n$ diferentes elementos.

Si el último: Vamos a $\sigma \in A_n$ el tipo de ciclo $(m_1, m_2, \dots, m_k)$ donde $m_1 > m_2 > \dots > m_k$. El tipo de ciclo no es sólo $(1)$ porque la clase no es la identidad. Por otra parte, desde la $n \geq 5$,$m_1 \geq 3$. Wlog la $m_1$-ciclo de trabajo en $\sigma$ mueve el elemento $1$.

Tenemos dos casos. Si hay al menos dos de las $m_i$, que es mayor que $2$, luego tenemos al menos $n$ elementos dados por la variación de la imagen de $1$. De hecho, decir $a, b, c$ están en un ciclo que no contenga $1$$\sigma$: $$\sigma = (1 x y z \dots)(a b c \dots)\dots$$ con el primer ciclo más largo que el segundo. Si $\sigma : 1 \mapsto 2$ (que wlog lo hace), podemos conjugar $\sigma$ $(2m)(ab)$ para obtener otro miembro de $\sigma$'s de la clase conjugacy que envía a $1 \mapsto m$ por cada $m \not = a, b$. Con el fin de obtener $1 \mapsto a$, se puede utilizar en lugar de $(2 a)(b c)$, y con el fin de obtener $1 \mapsto b$, por el contrario, podemos utilizar $(2b)(ac)$. Por lo tanto hemos encontrado $n$ elementos distintos de a $\sigma$'s de la clase conjugacy.

El único caso es que en la mayoría de los una de las $m_i$ es mayor que 2. Es decir, el tipo de ciclo de $\sigma$ es de la forma $(n)$ o $(n-1, 1)$.

• En el primer caso, el tipo de ciclo es $(n)$. Hay $\frac{n!}{2n}$ elementos de la clase conjugacy, así que hemos terminado: $\frac{n!}{2n} = \frac{(n-1)!}{2} \geq n$$n \geq 5$.
• En el último caso, el tipo de ciclo es $(n-1, 1)$. Hay $(n-1)!/2$ de estos también, así que de nuevo estamos por hacer.

Hemos encontrado $n$ distintos elementos de la clase conjugacy de $\sigma$.