Representaciones de Monodromy y geodésicas de métricas planas singulares en$\mathbb{H}$

Question

Deje $X$ ser un cerrado de superficie de Riemann de género $g\ge 2$ $\pi:\mathbb{H}\rightarrow X$ el holomorphic la universalización de la cobertura. A continuación, $X$ es biholomorphic para el cociente $\mathbb{H}/\Gamma$ donde $\Gamma$ es un Fuchsian grupo y $\rho:\pi_1(X)\rightarrow \Gamma$ es el monodromy representación.

Dado $x,y\in \mathbb{H}$ denotar por $\sigma$ el hiperbólico geodésica de$x$$y$. Para cada $\gamma\in \pi_1(X)$ claramente (ya $\Gamma$ es un grupo de isometrías de $\mathbb{H}$) $\rho(\gamma)(\sigma)$ es el hiperbólico geodésica de$\rho(\gamma)(x)$$\rho(\gamma)(y)$.

Ahora vamos a $q$ ser una ecuación cuadrática holomorphic diferencial en $X$ y considerar la posibilidad de $\mathbb{H}$ dotado de la plana singular métrica $|\pi^*q|$. Me estoy preguntando si es verdad todavía una declaración similar a la anterior. Dado $x,y\in \mathbb{H}$ denotar por $\tau$ $|\pi^*q|$- geodésica de$x$$y$. Es cierto que $\rho(\gamma)(\tau)$ (es decir, el monodromy acción $\rho(\gamma)$ aplicado en $\tau$) es el $|\pi^*q|$-geodésica de$\rho(\gamma)(x)$$\rho(\gamma)(y)$?

Answer 1

Es un hecho general acerca de las invariantes de las métricas. Supongamos que $X$ está conectado a un colector equipado con un (posiblemente singular) Finsler métrica, de modo que la distancia entre dos puntos está dada por $$ d(x,y)=inf_c L(c) $$ donde el infimum se toma sobre todos los caminos de $c$ $X$ conectar $x$ $y$ $L(c)$es la longitud de $c: [0,1]\to X$: $$ L(c)=\int_0^1 |c'(t)|dt. $$ (En general, uno debe asegurarse de que las singularidades de la métrica son lo suficientemente leve como para esta integral a tener sentido, pero en su caso, el conjunto de singularidades es discreto, por lo que no tiene un problema). Suponga también que $$ \phi: X\a X $$ es una isometría de su Finsler métrica, es decir, $|D\phi(v)|=|v|$ por cada vector tangente $v\in T_xX$ (donde la métrica se define en $T_xX$). Entonces $\phi$ preserva la distancia entre los puntos y envía geodesics de la geodesics, donde geodesics se definen como (local) de longitud-minimizers. Demostrar esto es una tarea sencilla.

En su caso, geodesics son en realidad distancia minimizers (ya que la métrica definida por una ecuación cuadrática diferencial es $CAT(0)$, el último en esencia se remonta a Teichmuller del trabajo: él no tiene la noción de una $CAT(0)$ métrica, pero vio que él puede utilizar una singular versión de Gauss-Bonnet fórmula).

En su caso, usted ha $\pi: X\to M$ la cobertura universal de su superficie y tomar el pull-back de la singular métrica de Riemann de$M$$X$; este pull-back es invariante bajo la cobertura de las transformaciones. Por lo tanto, abarca las transformaciones enviar geodesics a geodesics.