Función exponencial

Question

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\frac{n}{1!}+\cdot+\frac{n^n}{n!}}{e^n}=\frac12$

Tomando los primeros términos$n$ de la serie de Taylor de$e^n$ como el numerador, ¿el límite es verdadero o falso? ¿Cómo probar?

Answer 1

Usted tiene $$ \frac {\sum_{k=0}^n\frac {n^k}{k!}}{e^n} = \frac {e^n-\sum_{k=n+1}^\infty \frac {n^k}{k!}}{e^n} = 1-\frac {\sum_{k=n+1}^\infty \frac {n^k}{k!}}{e^n}\to1. $$ Para ver que el cociente tiende a cero, ya que la cola de la suma es el resto del polinomio de Taylor de $e^n$$0$, tenemos $$ \sum_{k=n+1}^\infty \frac {n^k}{k!}=\frac{e^{c(n)}n}{(n+1)!}, $$ donde $c(n)$ es un número entre el$0$$n$. Entonces, como $e^{c(n)}\leq e^n$, $$ \frac{\sum_{k=n+1}^\infty \frac {n^k}{k!}}{e^n}=\frac1{e^n}\,\frac{e^{c(n)}n}{(n+1)!}\leq\frac{n}{(n+1)!}\to0. $$

Answer 2

Suponiendo que trabajamos $$a_n=e^{-n}\sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!} $$por la definición de la función gamma incompleta $$a_n=\frac{\Gamma (n+1,n)}{n \Gamma (n)}$$ Tenemos la relación $$\Gamma (n+1,n)=n \,\Gamma (n,n)+e^{-n}\, n^n$$ lo que hace $$a_n=\frac{ n^{n-1}}{e^n\,\Gamma (n)}+\frac{\Gamma (n,n)}{\Gamma (n)}$$ The first term tends to $0$ when $$ n se hace más grande; para demostrarlo, tome su logaritmo y uso de la aproximación de Stirling para obtener $$\log\left(\frac{ n^{n-1}}{e^n\,\Gamma (n)} \right)=-\frac{1}{2} \log \left({2 \pi n}\right)-\frac{1}{12 n}+O\left(\frac{1}{n^{5/2}}\right)$$

Para el segundo término, si ustedes ven aquí, te darás cuenta de la asymptotics $$\Gamma(n,n) \sim n^n e^{-n} \sqrt{\frac{\pi}{2 n}}$$ So, neglecting the first term, we have, for large $n$ $$a_n\sim \frac{ n^n e^{-n} }{\Gamma(n)}\sqrt{\frac{\pi}{2 n}}$$ Tomar logaritmos y uso de la aproximación de Stirling para obtener $$\log(a_n)=-\log (2)-\frac{1}{12 n}+O\left(\frac{1}{n^{5/2}}\right)$$ Continuar con Taylor $$a_n=e^{\log(a_n)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{24 n}+O\left(\frac{1}{n^{2}}\right)$$ Si utiliza la mejor asymptotics dado en el enlace de $$\Gamma(n,n) = n^n e^{-n} \left [ \sqrt{\frac{\pi}{2 n}} - \frac{1}{3 n} + O\left ( \frac{1}{n^{3/2}} \right ) \right ]$$ haciendo lo mismo, usted debe terminar con $$a_n=\frac 12-\frac{1}{3 \sqrt{2 \pi n} }-\frac{1}{24 n}+O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$$