¿Por qué aprender a resolver ecuaciones diferenciales cuando las computadoras pueden hacerlo?

Question

Estoy comenzando a aprender matemáticas de ingeniería. Me interesa mucho la física, especialmente la mecánica cuántica, y vengo de un sólido background en informática.

Una pregunta me está persiguiendo.

¿Por qué debo aprender a hacer operaciones matemáticas complejas en papel cuando la mayoría se pueden hacer automáticamente en software como Maple? Por ejemplo, siempre que aprenda el concepto y la aplicación de cómo funcionan los aspectos del álgebra lineal y las ecuaciones diferenciales, ¿no podré ingresar la información adecuada en un programa de software y no tener que realizar los cálculos manualmente?

¿Es el objetivo de las matemáticas y las clases de matemáticas aprender los conceptos generales de cómo aplicar las herramientas matemáticas o es el objetivo aprender los detalles hasta el nivel más básico?

Solo para aclarar, no estoy tratando de ofender a ningún matemático ni de menospreciar la importancia de las matemáticas. Desde informática reconozco que conocer los detalles profundos de un algoritmo puede ser útil, pero es igualmente importante poder trabajar abstractamente. Solo intento obtener alguna perspectiva sobre cómo abordar los próximos años de estudio.

Answer 1

¿Es el punto de las matemáticas y las clases de matemáticas aprender los conceptos generales de cómo aplicar herramientas matemáticas o es el punto aprender los detalles hasta el nivel básico?

Ambos. Uno es difícil sin el otro. ¿Cómo vas a resolver ecuaciones que Maple no puede resolver? ¿Cómo lo vas a resolver, exactamente o numéricamente? ¿Cuál es la mejor manera de resolver algo numéricamente? ¿Cómo puedes simplificar el problema para obtener una respuesta aproximada? ¿Cómo vas a interpretar la salida de Maple y cualquier problema que tengas con su solución? ¿Cómo puedes simplificar la respuesta que te da? ¿Qué pasa si solo estás interesado en el problema para un conjunto particular de valores/parámetros/en un rango particular? ¿Qué sucede si un parámetro es pequeño? ¿Cuántas soluciones hay? ¿Existe alguna solución siquiera?

Usar un CAS sin conocer las matemáticas de fondo detrás de los problemas que estás tratando de resolver es como apretar los botones en una calculadora sin saber qué son los números, qué significan las operaciones o cuál podría ser el orden de las operaciones.

Answer 2

Muchas, muchas razones...

1. Estaba en un programa de teoría de números en la escuela secundaria que prohibía las calculadoras. ¿Sabes cuántas más cosas notas sobre la teoría cuando tienes que encontrar formas de descubrir los detalles tú mismo? Tal vez tengas que calcular algo absurdo como $3^{24} (\mod 7)$, ¡pero sabes qué? Eso en realidad es muy fácil una vez que te das cuenta de que las potencias se repiten cíclicamente. Nunca aprenderías esto si dejas que la computadora suba 24 potencias y escupa el número 1 (que acabo de calcular en mi cabeza).
2. Aprendes inteligencia que necesitarás en todas partes. Intenta decir "bueno, normalmente uso una computadora para hacer esto" en una entrevista de trabajo. En otras palabras, estoy diciendo que incluso los empleadores, a menudo, piensan así.
3. Tendrás dificultades para resolver problemas relacionados o incluso modelar adecuadamente con una ecuación diferencial si no entiendes cómo funcionan las ecuaciones diferenciales. Dile a la computadora que simplemente no puede resolverlo; ¿puedes reducirlo a un problema que pueda resolver? ¿Puedes intentar resolverlo a mano y ver dónde te quedas atascado para entender por qué esta es una ecuación diferencial interesante?
4. La mejor manera de asegurarte de que comprendes los conceptos de alto nivel es trabajando en un problema detallado de dificultad tolerable pero significativa. De lo contrario, solo te estás engañando a ti mismo pensando que puedes entender conceptos de alto nivel.
5. Los detalles te mostrarán por qué los conceptos de alto nivel son importantes, y los recordarás mejor. Si tu teorema tiene hipótesis X, Y y Z, puede ser difícil hacer un seguimiento de esto, a menos que pruebes el teorema o resuelvas un problema y veas explícitamente dónde necesitas las hipótesis X, Y y Z. Quizás incluso puedas visualizar por qué las necesitas, por lo que si un problema diferente luce diferente en tu cabeza, te darás cuenta de que estabas a punto de hacer algo ilegal.
6. El diablo está en los detalles. Cuando trabajas en los detalles, puede ser el momento en que te des cuenta de que te falta un prerrequisito o lo modelaste mal. por ejemplo, "En este punto del problema, normalmente movería este término aquí, pero eso implicaría que el agua se dobla hacia arriba, lo cual no está sucediendo en mi problema físico... ¿Cometí un error en algún lugar?"
7. Es interesante. Tal vez no te interese tanto, pero a alguien más en tu clase sí. O tal vez te sorprenderás y encontrarás una técnica particularmente interesante, y aprender un poco más sobre esa área de ecuaciones diferenciales y la física detrás de ella, y durante el resto de tu vida serás mejor para lidiar con esos tipos de problemas. Pero esa persona seguirá adelante para obtener un Ph.D. en matemáticas, trabajar para Wolfram y desarrollar Mathematica, por lo que la próxima generación de profesionales tendrá menos ecuaciones diferenciales que la computadora no pueda resolver.

Answer 3

¿Es el objetivo de las matemáticas y las clases de matemáticas aprender los conceptos generales de cómo aplicar herramientas matemáticas o es el objetivo aprender los detalles hasta el nivel básico?

Estoy de acuerdo con Bennett, el objetivo es ambos. Considera la analogía de que aprender matemáticas y física es como construir mapas. Primero, verás mapas que otros han creado, cómo se elaboran los detalles, normas, cuáles son las reglas usuales, cuáles son los grandes mapas para ciertas regiones. Este es el punto de vista general.

Sin embargo, debes asegurarte de que estos mapas sean correctos. Por lo tanto, irás a los lugares a los que te indican y comprobarás si coincide. Este es el nivel básico. Debes asegurarte de estar siguiendo las instrucciones correctamente, llegando a los mismos resultados, poder caminar tú mismo por el camino.

Es la única manera de tener un conocimiento firme, sólido y agudo de cualquier cosa que estudies. Aprender a alternar entre la vista aérea y olfatear el suelo es parte del aprendizaje de cualquier persona en ciencia.

Terminaré esta respuesta con una cita de Richard Hamming:

El propósito de la computación es la perspicacia, no los números.

Answer 4

Sin conocer los detalles de un proceso, es extremadamente difícil programar herramientas por ti mismo que calculen este proceso. De manera más concisa, sin entender un algoritmo, es casi imposible implementar el algoritmo. Esta no es ni de lejos su única justificación, pero apostaría a que es la más relevante, dada tu formación.

Answer 5

Para que alguien pueda enseñarle a la computadora cómo hacerlo mejor.