Probabilidad de éxito y de fracaso

Question

Tengo una pregunta interesante en la mano que me he acercado a varios otros, pero todos ellos me da diferentes puntos de vista a esta cuestión de la probabilidad.

Aquí está,

La incidencia de una transacción sospechosa en un banco es 1 in 149 . Son capaces de identificar correctamente una transacción legítima 92% del tiempo. Sin embargo, este banco también es capaz de señalar correctamente una transacción sospechosa 92% del tiempo. Un día, el banco identifica una transacción como sospechosa. ¿Cuál es la probabilidad exacta de que la transacción sea realmente legítima?

Desde mi punto de vista personal, si la pregunta pide la probabilidad de que la transacción sea realmente legítima, afirma que la tasa es del 148⁄ ₁₄₉ . El banco es capaz de identificar correctamente (lo que falla) una transacción legítima y otra sospechosa. Por lo tanto, el porcentaje de fallos debería ser (8% * 8%) que es 0.08 * 0.08 = 0.0064. Por lo tanto, la probabilidad de que sea realmente legítimo es 148⁄ ₁₄₉ * 0.0064 = 0.00636 .

Sin embargo, he preguntado a varias personas su opinión y algunas afirman que la probabilidad debería ser sólo del 148⁄. ₁₄₉ * 0.08 .

Por lo tanto, cuál debería ser la respuesta más probable a problemas como éste.

Answer 1

Por término medio, para $14900$ transacciones:

$100$ son sospechosos, y de estos $92$ son identificados como sospechosos;

y

$14800$ son legítimos, y de ellos $1184$ son (mal) identificados como sospechosos.

Así que fuera de $1276$ transacciones identificadas como sospechosas, $1184$ son de hecho legítimos (por término medio).

Por cierto, esto coincide con Graham Kemp, pero es quizás un poco más intuitivo.

Answer 2

La incidencia de una transacción sospechosa en un banco es de 1 de cada 149. Son capaces de identificar correctamente una transacción legítima el 92% de las veces. Sin embargo, este banco también es capaz de identificar correctamente una transacción sospechosa el 92% de las veces. Un día, el banco identifica una transacción como sospechosa. ¿Cuál es la probabilidad exacta de que la transacción sea realmente legítima?

Dejemos que $S$ sea el caso de que una transacción sea sospechosa.   Sea $T$ ser el caso de que una transacción sea identificado como sospechoso.

Se nos da: $\mathsf P(S)=1/149, \mathsf P(T^\complement\mid S^\complement)=0.92=\mathsf P(T\mid S)$ .

Buscamos, mediante la regla de Bayes: $\mathsf P(S^\complement\mid T)~{=\dfrac{\mathsf P(T\mid S^\complement)\mathsf P(S^\complement)}{\mathsf P(T\mid S)\mathsf P(S)+\mathsf P(T\mid S^\complement)\mathsf P(S^\complement)}\\ = \dfrac{0.08\cdot148/149}{0.92\cdot1/149+0.08\cdot148/149} \\ =\dfrac{296}{319} }$

Answer 3

Dejemos que $S$ denotan el evento "la transacción es sospechosa", y $I$ denotar el caso de que "la transacción sea identificada como sospechosa"

Lo que la pregunta pide es $$P(\neg S| I)$$ (ya que $\neg S$ es el evento "la transacción no es sospechosa", es decir, "la transacción es legítima").

Ahora, usamos el viejo Bayes para obtener

$$P(\neg S|I) = \frac{P(I|\neg S)\cdot P(\neg S)}{P(I)}$$

Usted ya sabe que $P(I|\neg S) = 0.08$ y que $P(\neg S) =1-P(S) = 1- \frac{1}{149}=\frac{148}{149}$ .

Entonces, ¿cuál es la probabilidad de $I$ ? Pues bien, para ello utilizamos la ley de la probabilidad total:

$$P(I) = P(I|S)\cdot P(S) + P(I|\neg S)\cdot P(\neg S) = 0.92 \cdot \frac{1}{149} + 0.08\cdot \frac{148}{149}$$

¿Puedes llevarlo desde aquí?