¿Cuál es la cardinalidad del conjunto de las estructuras matemáticas?

Question

En la lógica matemática, no es un conjunto $X$ que contiene todas las estructuras matemáticas dado un determinado conjunto de símbolos $S$.

E. g. vamos a decir $S=(•,R)$ (un operador binario y binario relación) Supongamos que un $S$ estructura $\mathfrak A$ ser una tupla $(A, •,R)$ tal que los dos símbolos tienen una correspondiente relación que se defkned en $A$.

¿Cuál es la cardinalidad de a $\{\mathfrak A|\mathfrak A \text{ is an $S$ structure} \}$?

Mi sospecha es que es enorme. Tal vez no tiene una cardinalidad? Mi sospecha es: para cualquier cardinalidad, podemos construir otro conjunto de estructuras cuyos dominios se tiene que la cardinalidad, de modo que el conjunto de estas estructuras debe tener una cardinalidad mayor que ella. Por lo tanto el conjunto de todas estas estructuras tiene una "unbounded cardinalidad"? (???!)

Answer 1

El término correcto es "una clase adecuada", lo que significa que esta colección no es un conjunto.

Y aunque sin duda podemos hablar sobre la forma correcta de clases y, en cierta medida tratarlos como conjuntos para algunos rudimentarios cosas (por ejemplo, las intersecciones, los sindicatos, los productos), estos no son conjuntos. Y una cosa que adecuada clases no tienen es la cardinalidad.¹

Su idea es correcta, pero su argumento es un poco insuficiente. De hecho, la fijación de un lenguaje, podemos encontrar arbitrariamente grande de la estructura de esa lengua, lo que implica que esta es una clase adecuada. Pero no hay una "conexión directa" entre la cardinalidad de la colección de la estructura, y la cardinalidad de una nueva estructura. Si $X$ es una contables establecidas, $X\cup\{X\}$ es también una contables conjunto.

El enfoque correcto, sin embargo, se podría argumentar que si $X$ es un conjunto de $S$-estructuras, luego hay algunos cardenal $\kappa$ de manera tal que ningún miembro de $X$ tiene el tamaño de $\kappa$. Por lo tanto, tomando cualquier $S$-estructura de tamaño de la $\kappa$, no será en $X$. Por lo que ningún conjunto puede agotar todas las $S$-estructuras.

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Notas a pie de página.

1. En realidad, es posible definir la cardinalidad para la correcta clases, hablando acerca de la existencia de bijections entre las clases. Pero esto requiere de una mejor comprensión de la teoría de conjuntos axiomática, y la comprensión de lo que significa para los objetos de vivir en la meta-teoría y cómo la teoría de conjuntos interactúa con su meta-teoría. Así que vamos a estar de acuerdo en que por ahora, adecuada clases no tienen cardinalidad.