Criterios para un polinomio cúbico en $\Bbb Q[x]$ dividir totalmente $\Bbb Q_p$

Question

Fondo: Un cuadrática polinomio se divide sobre un campo $k$ iff su discriminante es un cuadrado en $k$. Plazas en $\Bbb R$ son sólo los elementos $\ge 0$, y también es muy fácil de reconocer plazas en un $p$-ádico de campo $\Bbb{Q}_p$. (Con un poco de rareza para $p=2$, que, no obstante, se puede hacer y tiene buen casos especiales.)

En particular, es fácil de encontrar, para cada uno de los prime $p$, un irreductible cuadrática $f_p \in \Bbb{Q}[x]$ que factores completo en tanto $\Bbb{Q}_p$$\Bbb R$. En realidad, $f_p = x^2-(1+p^n)$ trabaja para $n\ge 2$ por extraño $p$, resp. $n \ge 4$ $p=2$ (donde $n=3$ es sólo excluidos debido a que es el único caso en que $1+p^n$ es ya una plaza en $\Bbb Q$).

Así que vamos a llegar cúbicos, vamos $$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$$ ($a\neq 0$) be irreducible in $\Bbb{Q}[x]$. Over $\Bbb R$, $f$ factores completamente iff su discriminante

$$\Delta(f) = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2$$

es un cuadrado (es decir,$\ge 0$). Pero esto es muy peligroso. Más de un campo general $k\supset \Bbb Q$, $\Delta(f)$ ser un cuadrado es un necesario criterio de $f$ a factor completamente, pero no suficiente. Lo que hace que funcione en $\Bbb R$ es que por el Teorema del Valor Intermedio, $f$ tiene al menos una raíz $\alpha \in \Bbb R$ a empezar. A continuación, las otras raíces son expresiones de $\sqrt{\Delta(f)}$ $\alpha$ - comparar Expresar las raíces de un cúbicos como polinomios en una raíz y Expresar una de las causas de depresión cúbicos ecuación a través de otro y la raíz cuadrada del discriminante). En otras palabras, la división de campo de la $f$$\Bbb Q$$\Bbb Q[\alpha, \sqrt{\Delta(f)}]$, por lo que su división de campo de más de $\Bbb R$$\Bbb R[\alpha, \sqrt{\Delta(f)}] = \Bbb R$.

Con este argumento, es la necesaria y suficiente criterio para $f$ a factor completamente en $k$ es que el $\Delta(f)$ es un cuadrado en $k$, e $f$ tiene al menos una raíz en $k$.

Pero, ¿cómo comprobar si $f$ tiene al menos una raíz en, digamos, $\Bbb Q_p$? Bueno, Hensel del Lema del curso. Esto parece funcionar un poco para "grande" $p$, pero me encuentro con problemas para $p=2,3$.

Pregunta 1: ¿Qué son agradables necesarias y suficientes criterios para $f$ a factor completamente en $\Bbb{Q}_p[x]$? (Con especial atención a $p=2,3$, aunque, por supuesto, un enfoque general que no tienen ni siquiera para manejar estos casos de manera diferente sería óptimo.)

Pregunta 2: Para cada uno de los prime $p$, hay una cúbico $f_p$, irreducible sobre los racionales, que se divide completamente en $\Bbb{Q}_p[x]$ y en $\mathbb{R}[x]$?

Edit: Lubin y Franz Lemmermeyer han dado una buena construcción para la pregunta 2 en los comentarios, gracias por eso. Mi postura sería la de establecer

$$f_p := \begin{cases} x^3-x+pk & \text{for odd }p\\ x^3-x+8k & \text{for }p=2\\ \end{casos}$$ donde $k$ es racional con $v_p(k)\ge 0$. Observe que $x^3-x=x(x-1)(x+1)$ tiene al menos una raíz simple modulo $p$, por lo que Hensel nos da al menos una raíz en $\Bbb Q_p$. Más $$\Delta(f_p) = \begin{cases} 4(1-\frac{3^3k^2}{2^2}\cdot p^2) & \text{for odd }p\\ 4(1-3^3k^2 \cdot 2^4) & \text{for }p=2\\ \end{casos}$$ es un cuadrado de $\Bbb Q_p$, lo $f_p$ se divide completamente en $\Bbb{Q}_p$. Para asegurarse de que también se divide completamente en $\Bbb R$, tenemos que asegurarnos de que $\Delta(f_p) \ge 0$, lo que hacemos mediante la elección de $k$ real con valor absoluto $$|k| \le \begin{cases} \frac{2\sqrt3}{9p} & \text{for odd }p\\ \frac{\sqrt 3}{36} & \text{for }p=2.\\ \end{casos}$$ Ahora, la última cosa que queremos garantizar es que $f_p$ es irreducible sobre $\Bbb Q$. "De manera genérica", es. ¿Alguien ve una buena manera de hacer cumplir esto? Con humor, mi primer intento para $p=2$, es decir, $k=\frac{1}{21}$ (desde $\frac{1}{21}<\frac{\sqrt 3}{36}<\frac{1}{20}$), ya da la $\Bbb Q$-irreductible $$f_2 = x^3-x+\frac{8}{21}$$ a pesar de que su discriminante pasa a ser el racional de la plaza de la $\frac{4}{49}$.

Por cierto, he encontrado este sitio es muy útil para jugar con los polinomios de más de $p$-adics: https://math.la.asu.edu/~jj/localfields/

Answer 1

$\def\QQ{\mathbb{Q}}$Usted puede saber esto, pero no fue explícito: por un polinomio $f$ grado $d$ a través de una $p$-ádico de campo, a continuación, $\operatorname{Gal}(f) \subseteq A_d$ (la alternancia de grupo) si y sólo si $\Delta(f)$ es un cuadrado. En el caso de $d=3$, $A_3 = C_3$ (cíclico) y por tanto, la única manera posible de grupos se $C_3$ (e $f$ es irreductible) o el trivial grupo (y $f$ divisiones). El último de los casos se distingue por las pruebas si $f$ tiene una raíz en el campo de tierra. De ahí su afirmación de que $f$ divisiones si y sólo si el discriminante es un cuadrado y $f$ tiene un factor.

Algunas respuestas a #1:

Respuesta 1. La respuesta general para encontrar raíces de polinomios sobre $p$-ádico campos es "Panayi del algoritmo de búsqueda de raíces". Un lugar donde se documenta en la sección 8 de "En el cómputo de todas las extensiones de un $p$-ádico de campo" por Pauli y Roblot.

Respuesta 2. Algo un poco más directo, supongo, es que se podría utilizar la expresión explícita de las raíces de un polinomio cúbico. Esto implicará la prueba si con diversas cantidades son cubos, por lo que es bastante análoga a la de la $d=2$ de los casos, y Hensel del lexema le dará un criterio para determinar si es o no un número es un cubo.

Respuesta 3. Recordar el discriminante es definido como $$\Delta = \prod_{i \neq j} (\alpha_i - \alpha_j)$$ where $\alpha_i$ are the roots of $f(x)$, and so testing if it has a square root is really testing if $\sqrt{\Delta} = \prod_{i < j} (\alpha_i - \alpha_j) \in \QQ_p$. If we have a square-root, then we know that the Galois group is inside $C_3$. If $\omega\en\QQ_p$ is a primitive cube root of unity (this exists if and only if $3 \mid p-1$), then similarly defining $$\Phi=\prod_{i=1}^3 \alpha_{i \bmod 3}+\omega\alpha_{i+1\bmod3}+\omega^2\alpha_{i+2\bmod3}$$ then you can expand this out and express it in terms of coefficients of $f$ and $\sqrt\Delta$ (just like you can express $\Delta$ in terms of coefficients of $f$). Then Fact: $f$ has a root if and only if $\Phi$ has a cube root. Therefore $f$ splits if and only if $\sqrt{\Delta}$ and $\sqrt[3]{\Phi}$ ambos existen.

Por cosas como esta, el lujo de ser capaz de probar un $n$th raíz están generalmente restringidos a los campos que contienen primitivo $n$th raíces de la unidad. Por lo tanto el discriminante es tan bien conocido debido a que cada campo tiene raíces cuadradas de la unidad!