Estoy tratando de entender geométricamente, la ramificación de los números primos en un número finito de separarse de extensión de campo.
Deje $A$ ser un dominio de Dedekind con fracción de campo $K$ $L/K$ finita separables de campo de extensión de grado $n$, y deje $B$ ser la integral de cierre de $A$$L$, que es también un dominio de Dedekind. Deje $X=\text{Spec}(B)$$Y=\text{Spec}(A)$, y considerar la proyección de $X\to Y$ que envía un primer $\mathfrak{q}\in X$ $\mathfrak{p}\in Y$ $\mathfrak{p}$(es decir, el mapa de afín a los esquemas correspondientes a la inclusión $A\to B$).
Deje $\mathfrak{p}\in Y$ ser un no-cero prime ideal en $A$. La fibra de más de $\mathfrak{p}$ es entonces el conjunto de primer ideales $\mathfrak{q}_{i}\in X$ tal que $$ \mathfrak{p}B=\mathfrak{q}_{1}^{e_{1}}\cdots \mathfrak{q}_{g}^{e_{g}}$$ es la correspondiente descomposición en factores primos en $B$ (determinada únicamente, debido a que $B$ es un dominio de Dedekind). Deje $f_{i}=[\kappa(\mathfrak{q}_{i}):\kappa(\mathfrak{p})]$ la correspondiente residuo grados. Entonces:
$$\sum_{i=1}^{g}f_{i}e_{i}=n$$
Decimos que $\mathfrak{q}_{i}$ se ramificó por encima de $\mathfrak{p}$ si el índice de ramificación $e_{i}$ es estrictamente mayor que 1, y unramified si $e_{i}=1$. Decimos que $\mathfrak{p}$ es unramified en $B$ si todos los $e_{i}=1$; $\mathfrak{p}$ se divide en $B$ si todos los $e_{i}=f_{i}=1$; y decimos que $\mathfrak{p}$ es inerte en $B$ si $g=e_{1}=1$.
Podemos imaginar tanto $X$ $Y$ como curvas algebraicas y $X$ como se ramifica a la cubierta de $Y$. Estoy tratando de entender el preciso sentido geométrico de todas las anteriores definiciones en términos de esta imagen geométrica.
Mi profesor dijo que se ramifica por encima de los números primos $\mathfrak{p}$ son los puntos de $\mathfrak{q}_{i}\in X$ cuando la fibra a $\mathfrak{p}$ cumple con $X$ en un punto de tangencia (entiendo que por la fibra, se refiere a la línea vertical por encima de $\mathfrak{p}$ cuando nos imaginamos a $Y$ como una línea recta). Traté de coincidir con esta interpretación con el ejemplo de $A=\mathbb{Z}$$B=\mathbb{Z}[i]$, basado en la imagen de $\text{Spec}(\mathbb{Z}[X])$ de Mumford:
El primer ideales en $\mathbb{Z}[i]=\mathbb{Z}[X]/(X^{2}+1)$ debe corresponder al primer ideales que contienen a $(X^{2}+1)$. Es decir, que deben corresponder a los puntos en la curva de $V(X^{2}+1)$ dibujado en la imagen.
La imagen de arriba, $(2)$ coincide con esta interpretación perfectamente, ya $(2)$ ramifies en $\mathbb{Z}[i]$. Y lo hace de la imagen de arriba $(5)$, ya que el $(5)$ se divide en dos primos en $\mathbb{Z}[i]$. Pero ahora tengo un problema con la imagen de arriba,$(3)$. Sólo debe haber un punto, es decir,$(3,X^{2}+1)\in X$, pero supongo que Mumford simplemente no se dibuja. Pero incluso si lo hizo, ¿cómo iba a dibujar a este punto sin la creación de una singularidad en la curva? Porque, siendo el espectro de un dominio de Dedekind, $X$ debe ser un habitual de la curva, a la derecha? Así que, ¿cómo podemos sacar de este punto?
Pero si usted dibuja este punto en la ingenua manera, la introducción de una singularidad, de repente, el residuo título parece hacer algunos geométricas sentido para mí: parece ser que el número de parámetros que necesitamos para describir la curva alrededor del punto correspondiente. Cuánto de este ingenuo impresión es cierto? Se trata simplemente de una coincidencia? Porque algebraicamente esto no tiene mucho sentido para mí. Uno debe ser capaz de describir la curva de nivel local con un solo parámetro, debido a que todos los locales de anillos de la DVR. Voy a tratar de resumir todas estas dudas en la siguiente pregunta:
¿Cuál es el preciso sentido geométrico de la ramificación índice y el residuo de grado?
Por último, si es posible, me gustaría escuchar algunas aclaraciones comentarios sobre la fuente en la que comenzó a todas estas dudas (que inicialmente estaba ingenuamente feliz con mi profesor de interpretación): Neukirch de la Teoría Algebraica de números. En chpater I, Sección 13 (unidimensional Esquemas) dibuja esta ramificación de la situación:
Tengo varios problemas con esta imagen.
- No $X$ ser un habitual de la curva?
- Por qué no los puntos de ramificación de la tangente, como mi profesor reclamado a ser?
- Si esta es realmente la imagen, ¿cómo podemos distinguir geométricamente entre inerte y puntos de ramificación de los puntos? Por ejemplo, el punto a la derecha. Es inerte o es ramificado?
Neukirch dice que esta imagen es sólo una feria de representación de la algebraicas situación cuando el residuo de los campos en $A$ son algebraicamente cerrado, pero esto no ayuda mucho a responder a las preguntas anteriores.
Gracias por pasar el tiempo para leer esta pregunta larga. Estoy un poco confundida con este tema y quise expresar mis dudas tan claro como sea posible.
