Duro problema geométrico Combinatorical en intersección de círculos

Question

Hay un problema que yo he escuchado un par de años atrás, que ni yo ni ninguno de mis colegas fueron capaces de resolver, y ha pasado mucho tiempo así que no sé ni su origen, incluso tratando de google. Me gustaría saber si alguien puede apuntar a una solución a esto.

En un plano hay $n$ círculos con las siguientes condiciones:

• Todos los círculos tienen el mismo radio
• Cada círculo interseca al menos otro círculo
• No hay dos círculos son tangentes

Dado lo anterior, demostrar que hay al menos $n$ únicos puntos de intersección.

Yo lo único que han logrado demostrar que hay al menos $\sqrt{2n}$ únicos puntos de intersección.

Edit: "Único" puntos de intersección desconocer multiplicidades.

Answer 1

Dado un círculo de $C$, denotan por $N(C)$ el número de puntos de intersección en $C$. También, dado un punto de intersección $p$, denotan por $m(p)$ el número de círculos que ir a través de $p$.

Deje $p$ ser un punto de intersección y $C$ un círculo de ir a través de $p$. Entonces $$m(p)\leq N(C).$$ De hecho, hay una inyección de un conjunto de círculos de ir a través de $p$ otros de $C$ para el conjunto de los puntos de intersección acostado en $C$ otros de $p$, puesto que cada otro círculo de ir a través de $p$ se cruzan $C$ en otro punto (no tangencies, y por dos puntos dados pasará sólo dos círculos).

Ahora considere la suma de $$S=\sum_C \sum_{p\in C} \dfrac{1}{N(C)}$$

En primer lugar, desde $\sum_{p\in C}={N(C)}$ por cada círculo de $C$, obviamente, ha $$S=\sum_C 1=n.$$

Por otro lado, $$S=\sum_p \sum_{C\ \ni p} \dfrac{1}{N(C)}\leq \sum_p \sum_{C\ \ni p} \dfrac{1}{m(p)}=\sum_p 1$$ y la última parte derecha es el número de puntos de intersección, el cual concluye la prueba.